Polynômes premiers entre eux

[Anonyme]

Bonjour
Avec une suite de polynômes X-a_i, pourquoi faut-il que tous les a_i soient
non nuls pour que ces polynômes soient premiers entre eux? (c'est ce que
j'ai lu dans un corrigé d'exercices)
Merci

[Anonyme]

"CB" , dans le message (fr.education.entraide.maths:50039), a écrit :
> Avec une suite de polynômes X-a_i, pourquoi faut-il que tous les a_i soient
> non nuls pour que ces polynômes soient premiers entre eux? (c'est ce que
> j'ai lu dans un corrigé d'exercices)

Il faut qu'ils soient deux à deux distincts, non, plutôt ?

[Anonyme]

Xavier Caruso wrote:
> "CB" , dans le message (fr.education.entraide.maths:50039), a écrit :[color=green]
>> Avec une suite de polynômes X-a_i, pourquoi faut-il que tous les a_i
>> soient non nuls pour que ces polynômes soient premiers entre eux?
>> (c'est ce que j'ai lu dans un corrigé d'exercices)
>
> Il faut qu'ils soient deux à deux distincts, non, plutôt ?[/color]

Certes, mais ça suffit? S'il sont deux à deux distincts, mais qu'un des
polynômes est X, ça marche encore?

[Anonyme]

On Wed, 29 Oct 2003 12:40:02 +0100, CB wrote:
>Xavier Caruso wrote:[color=green]
>> "CB" , dans le message (fr.education.entraide.maths:50039), a écrit :[color=darkred]
>>> Avec une suite de polynômes X-a_i, pourquoi faut-il que tous les a_i
>>> soient non nuls pour que ces polynômes soient premiers entre eux?
>>> (c'est ce que j'ai lu dans un corrigé d'exercices)
>>
>> Il faut qu'ils soient deux à deux distincts, non, plutôt ?[/color]
>
>Certes, mais ça suffit? S'il sont deux à deux distincts, mais qu'un des
>polynômes est X, ça marche encore?[/color]

Bin oui pourquoi ? 0 serait-il un nombre particulier ? (Oui, bon, c'est
peut-etre le cas...) (mais pas dans ce contexte).

--
Frederic

[Anonyme]

Frederic wrote:
[color=green]
>> Certes, mais ça suffit? S'il sont deux à deux distincts, mais qu'un
>> des polynômes est X, ça marche encore?
>
> Bin oui pourquoi ? 0 serait-il un nombre particulier ? (Oui, bon,
> c'est peut-etre le cas...) (mais pas dans ce contexte).[/color]

C'est ce que je me disais, mais dans la correction d'un exercice dans le
livre de Christophe Jan chez ellipses (Le grand livre des mathématiques),
dans le chapitre Réduction, il y a écrit qu'on peut utiliser le lemme des
noyaux pour le produit des X-mu_j parce que les mu_j sont distincts deux à
deux et non nuls... Si vous voulez plus de détails sur cette correction
demandez moi. Mais ça me paraît étrange. D'autant plus que l'hypothèse des
mu_j non nuls est cruciale, puisque sans elle la propriété démontrée dans
l'exercice devient fausse!

[Anonyme]

On Wed, 29 Oct 2003 12:51:27 +0100, CB wrote:[color=green]
>> Bin oui pourquoi ? 0 serait-il un nombre particulier ? (Oui, bon,
>> c'est peut-etre le cas...) (mais pas dans ce contexte).
>C'est ce que je me disais, mais dans la correction d'un exercice dans le
>livre de Christophe Jan chez ellipses (Le grand livre des mathématiques),
>dans le chapitre Réduction, il y a écrit qu'on peut utiliser le lemme des
>noyaux pour le produit des X-mu_j parce que les mu_j sont distincts deux à
>deux et non nuls... Si vous voulez plus de détails sur cette correction
>demandez moi.[/color]

Oui, je veux bien. Pour autant que je sache, le lemme des noyaux n'impose
pas de condition de non-nullite (en tout cas, la version que je connais).
En fait, je veux bien l'enonce de l'exercice, si c'est possible ?

--
Frederic, curieux et qui espere ne pas dire de betises.

[Anonyme]

Frederic wrote:
>
> Oui, je veux bien. Pour autant que je sache, le lemme des noyaux
> n'impose pas de condition de non-nullite (en tout cas, la version que
> je connais). En fait, je veux bien l'enonce de l'exercice, si c'est
> possible ?

A appartient à GL_n (C). p entier non nul tel que A^p soit diagonalisable.
Montrer que A est diagonalisable.
Correction : on pose w = e^(i*2*pi/p), lambda_1, .., lambda_s les valeurs
propres distinctes de A^p. Comme A est inversible, les lambda_i sont non
nuls. Par le lemme des noyaux on a C^n = somme directe des ker(A^p -
lambda_j I). La ça va. Ensuite on considère les mu_j tels que mu_j^p =
lambda_j. Alors X^p - lambda_j = produit k=0 à p-1 des X - w^k mu_j. Ici
tout va bien. Ensuite les polynômes X - w^k mu_j sont 2 à 2 premiers entre
eux car mu_j non nul. C'est là que je comprends pas. Ensuite le lemme des
noyaux donne C^n = somme directe sur i de somme directe sur k des ker (A -
w^k mu_j I) donc A est diagonalisable.
En fait j'ai tout compris mais je vois pas pourquoi un mu_j ne doit pas être
nul sachant qu'ils sont tous distincts. Ensuite il y a un contre exemple où
A n'est pas inversible cette fois.
Une idée??

[Anonyme]

On Wed, 29 Oct 2003 14:17:09 +0100, CB wrote:
>A appartient à GL_n (C). p entier non nul tel que A^p soit diagonalisable.
>Montrer que A est diagonalisable.

>Correction : on pose w = e^(i*2*pi/p), lambda_1, .., lambda_s les valeurs
>propres distinctes de A^p. Comme A est inversible, les lambda_i sont non
>nuls. Par le lemme des noyaux on a C^n = somme directe des ker(A^p -
>lambda_j I). La ça va. Ensuite on considère les mu_j tels que mu_j^p =
>lambda_j. Alors X^p - lambda_j = produit k=0 à p-1 des X - w^k mu_j. Ici
>tout va bien. Ensuite les polynômes X - w^k mu_j sont 2 à 2 premiers entre
>eux car mu_j non nul. C'est là que je comprends pas. Ensuite le lemme des
>noyaux donne C^n = somme directe sur i de somme directe sur k des ker (A -
>w^k mu_j I) donc A est diagonalisable.

Ben oui, si mu_j0 est nul alors tous les w^k mu_j0 sont egaux... Non ?

--
Frederic, dis-je une betise ?

[Anonyme]

Le Wed, 29 Oct 2003 14:17:09 +0100 "CB" a écrit :

> Frederic wrote:[color=green]
> >
> > Oui, je veux bien. Pour autant que je sache, le lemme des noyaux
> > n'impose pas de condition de non-nullite (en tout cas, la version que
> > je connais). En fait, je veux bien l'enonce de l'exercice, si c'est
> > possible ?
>
> A appartient à GL_n (C). p entier non nul tel que A^p soit
> diagonalisable. Montrer que A est diagonalisable.
> Correction : on pose w = e^(i*2*pi/p), lambda_1, .., lambda_s les
> valeurs propres distinctes de A^p. Comme A est inversible, les lambda_i
> sont non nuls. Par le lemme des noyaux on a C^n = somme directe des
> ker(A^p - lambda_j I). La ça va. Ensuite on considère les mu_j tels que
> mu_j^p = lambda_j. Alors X^p - lambda_j = produit k=0 à p-1 des X- w^k
> mu_j. Ici tout va bien. Ensuite les polynômes X - w^k mu_j sont 2 à 2
> premiers entre eux car mu_j non nul. C'est là que je comprends pas.
> Ensuite le lemme des noyaux donne C^n = somme directe sur i de somme
> directe sur k des ker (A - w^k mu_j I) donc A est diagonalisable.
> En fait j'ai tout compris mais je vois pas pourquoi un mu_j ne doit pas
> être nul sachant qu'ils sont tous distincts. Ensuite il y a un contre
> exemple où A n'est pas inversible cette fois.
> Une idée??[/color]

Ca vient du fait que si lambda est non nul, il a p racines p-iemes, et A
annule un polynome a racines simples, mais _de ce point de vue_, 0 est
particulier puisqu'il n'a qu'une seule racine p-ieme. Ca empeche
d'appliquer le lemme des noyaux a A.

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr
A TRUE Klingon programmer does NOT comment his code

[Anonyme]

> Ca vient du fait que si lambda est non nul, il a p racines p-iemes,
> et A annule un polynome a racines simples, mais _de ce point de vue_,
> 0 est particulier puisqu'il n'a qu'une seule racine p-ieme. Ca empeche
> d'appliquer le lemme des noyaux a A.

Ah d'accord, merci à vous!