Nombres premiers entre eux

[Anonyme]

Bonjour,

Soit p un nombre premier et x un entier quelconque

A t-on:
x et p^a premiers entre eux équivaut à x et p premiers entre eux

[Anonyme]

"Jean" a écrit dans le message de news:
42537c32$0$27758$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Soit p un nombre premier et x un entier quelconque
>
> A t-on:
> x et p^a premiers entre eux équivaut à x et p premiers entre eux

si x et p sont premiers entre eux, notons k = pgcd(x,p^a)
si k1 alors il existe un diviseur premier h de k donc un diviseur premier
h de x et p^a.
Puisque p est premier, h divise p^a donc h divise p (lemme de Gauss) et par
construction h divise x donc h divise pgcd(x,p)=1 ce qui est impossible donc
k=1 et x et p^a sont premiers entre eux.

Si x et p^a sont premiers entre eux, tu refais le raisonnement précédent en
remplaçant p^a par p (p=p^1 !!)

-------
2 isn't odd and it's the oddest prime number

********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************

[Anonyme]

> > Bonjour,[color=green]
> >
> > Soit p un nombre premier et x un entier quelconque
> >
> > A t-on:
> > x et p^a premiers entre eux équivaut à x et p premiers entre eux
>
> si x et p sont premiers entre eux, notons k = pgcd(x,p^a)
> si k1 alors il existe un diviseur premier h de k donc un diviseur[/color]
premier
> h de x et p^a.
> Puisque p est premier, h divise p^a donc h divise p (lemme de Gauss) et
par
> construction h divise x donc h divise pgcd(x,p)=1 ce qui est impossible
donc
> k=1 et x et p^a sont premiers entre eux.
>
> Si x et p^a sont premiers entre eux, tu refais le raisonnement précédent
en
> remplaçant p^a par p (p=p^1 !!)
>

A mon avis on n'a pas besoin de p premier

Sens =>
Si x et p^a sont premiers entre eux.
k = pgcd(x,p). k divise p donc k divise p^a.
k divise x et p^a donc k=1

Sens <=
Si x et p sont premiers entre eux.
k=pgcd(x,p^a)
Si k divise p, comme k divise x et que x et p sont premiers entrex eux, k=1
donc k et p sont premiers entre eux
Comme k divise p^a, d'après le théorème de Gauss
k divise p^(a-1) puis p^(a-2) puis... puis p
k divise x et p donc k=1

Corrigez moi si je me trompe

[Anonyme]

On Fri, 8 Apr 2005 17:11:26 +0200, "lecedre"
wrote:
[color=green][color=darkred]
>> > Bonjour,
>> >
>> > Soit p un nombre premier et x un entier quelconque
>> >
>> > A t-on:
>> > x et p^a premiers entre eux équivaut à x et p premiers entre eux
>>[/color][/color]

>
>A mon avis on n'a pas besoin de p premier
>
>Sens =>
>Si x et p^a sont premiers entre eux.
>k = pgcd(x,p). k divise p donc k divise p^a.
>k divise x et p^a donc k=1
ok
autre façon Bezout
ux+vp^a=1 donc ux+(vp^(a-1))p=1
>Sens Si x et p sont premiers entre eux.
>k=pgcd(x,p^a)
>Si k divise p, comme k divise x et que x et p sont premiers entrex eux, k=1
je dirai plutôt si d>0 divise k et p, il divise x et p, donc d=1 et
>donc k et p sont premiers entre eux

>Comme k divise p^a, d'après le théorème de Gauss
>k divise p^(a-1) puis p^(a-2) puis... puis p
>k divise x et p donc k=1
>
et aussi x^b et p^a sont 1er entre eux
>Corrigez moi si je me trompe
>
>
>
>
>
>
>
>

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

Alain Pichereau wrote:

> autre façon Bezout
> ux+vp^a=1 donc ux+(vp^(a-1))p=1
>[color=green]
>>Sens <=[/color]

ux + vp = 1 donc
u(vp+1)x + v^2p2 = 1 donc
u(vp(vp+1)+1)x + v^3p^3 = 1 ...

[Anonyme]

> >>Sens
> ux + vp = 1 donc
> u(vp+1)x + v^2p2 = 1 donc
> u(vp(vp+1)+1)x + v^3p^3 = 1 ...[/color]

Joli!