MPSI : Ensembles

[Adrien77]

Bonjour à tous, j'ai quelques diffucultés avec les ensembles, et un exercice me pose problème, le voici :

On considère un ensemble E et deux parties A et B de E. On note f l'aplication de P(E) dans P(A) x P(B) définie par :
f(X) = ( A n X, B n X ) pour tout X appartenant à E.

1. Montrer que f est injective si et seulement si A u B = E
2. Montrer que f est surjective si et seulement si A n B = ensembe vide
3. Donner une cns pour que f soit bijective et expliciter la reciproque de f dans ce cas.

Merci d'avance pour votre aide ou pour toute inidcation !

[bruce.ml]

Salut,

les maths en sup c'est vraiment facile, il faut juste poser les définitions et les appliquer. Ici, de quoi as-tu besoin ? des définitions de l'injectivité et c'est tout. Alors allons-y :

a) supposons que A U B = E, soit X,Y dans E tels que f(X) = f(Y) ...

ensuite dans l'autre sens, supposons que f soit injective ... on montre que A U B = E.

b) c'est pareil

cet exercice est très facile si tu le résouds méthodiquement, si tu t'y prends mal tu n'y arriveras jamais :)

[Adrien77]

Oui, je connais la définition de l'injectivité, f est inective si f(x)=f(x') => x=x' mais ici, je ne vois pas comment on peut demontrer que f est injective s.si A u B = E ...

[bruce.ml]

Ecris nous ce que tu as fait et dis nous où tu bloques :)

[Adrien77]

Alors voici ce que j'ai fait :

si f est injective, alors f(X) = f(X') implique X=X', ce qui donne ici :

(A n X, B n X ) = (A n X', B n X' ) => X=X'

et la je ne sais pas quoi faire

[bruce.ml]

Première question à se poser : qu'essaie-je de demontrer ?

[Adrien77]

J'essaie de démontrer que :

(A n X, B n X ) = (A n X', B n X' ) => X=X' est vrai s.si A u B = E

[bruce.ml]

On ne démontre pas une équivalence comme ça en 1 argument, sauf rare cas. Il faut prouver deux implications ! Choisis en une et prouve là, ensuite viendra le tour de sa réciproque.

[Adrien77]

Donc dans un premier temps il faut montrer que
(A n X, B n X ) = (A n X', B n X' ) => X=X' est vrai si A u B = E

et dans un second temps il faut montrer que si A u B = E alors
(A n X, B n X ) = (A n X', B n X' ) => X=X' ..

Mais je ne vois tjr pas ..

[bruce.ml]

Non là tu viens de dire la même chose avec deux phrases différentes ...

[Adrien77]

^^ je suis perdu

[bruce.ml]

Il faut prouver deux choses pour le a) :

A U B = E => f injective (commence par ça)
f injective => A U B = E

[Adrien77]

OK, ca je suis d'accord, j'ai compris.
Mais je ne vois pas comment on peut introduire X

A U B = E, à partir de là, je ne sais pas comment faire

[bruce.ml]

Il faut montrer que f est injective, tu m'as dit il y a un instant comment on faisait, et bien vas y :)

[Adrien77]

si A U B = E alors ... ?
je ne vois pas comment on peut montrer que f est injective à partir de A U B = E càd je ne vois pas comment on peut montrer que f(X)=F(X') => X=X' à partir de A U B = E

[bruce.ml]

ECRIS les choses, commence à faire ton raisonnement, et quand tu auras un problème A CE MOMENT tu rêflechis !

[abcd22]

Et fais des dessins aussi.

[bruce.ml]

Ce que je voulais lui faire comprendre c'est qu'il n'a pas besoin de comprendre de quio l'exercice traite, il aplique bêtement les définitions comme le ferait un ordinateur et ça passe. Ensuite si tu peux bien comprendre ce qui se passer pour faire des belles preuves courtes c'est encore mieux