Réciproque Loi Forte des Grands Nombres

[matteo182]

Bonjour,
Je dois montrer la réciproque de la loi forte des grands nombres.
Le problème est posé comme suit :

une suite de variables aléatoires identiquement indépendantes.
Soit CV dans lR quand n tend vers
Si alors .

Supposons et donc on cherche à montrer .

Alors pour cela je pose
Et donc on a : .

La première étape , montrer que ne me pose pas de problème.

Deuxième étape, montrer que , j'arrive à et maintenant comment conclure ?

Ensuite troisième étape, Montrer que . La je bloque.
En supposant donc que l'on ait cette égalité on obtient
.

Ultime étape et là encore je bloque :
Montrer


Merci pour vos réponses,
Mathieu

[Isomorphisme]

Bonsoir,

Attention à la 2ème étape. A la 1ère étape, tu as montré que . Par suite, on a c'est-à-dire que . Or, en utilisant le lemme de Borel-Cantelli, forcément tu as :

Par ailleurs, car les sont iid.

Enfin, n'est-il pas précisé que tes variables aléatoires sont à support dans ou dans ?

[matteo182]

Non ce n'est pas précisé, je pense que c'est dans N.
Merci pour l'idée du Lemme de Borel-Cantelli.

Je pense avoir terminé la preuve. Voilà comment je montre la denière étape.



On obtient donc l'inégalité souhaité.
Ca paraît correct ?