Bonjour,
Alors supposons que les conditions du théorème soient vérifiées pour des v.a Xn. On a alors E(Xn) qui tend vers E(X1)
1/
Ce que je ne comprends pas, c'est que si on prend une application continue f de [0,1] dans R ou C, alors E(f) tend vers f(E(X1)).... !!??
Parce que pour moi, en appliquant le théorème ci-dessus on aurait:
E(f) qui tendrait vers E(f(X1)).... peut-être une subtilité qui donnerait
f(E(X1))=E(f(X1))..?
2/
En rajoutant comme hypothèse que la variance tend vers 0, alors apparement E(f) tendrait vers f(x) quelque soit x dans [0,1].. (même problème)
MERCI de m'aider à comprendre ce truc qui à débarquer sans crier gare dans mes exos!! :-)
simplet
Loi Faible Des Grands Nombres
9 messages
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par simplet » 23 Mar 2006, 12:44
ce message n'a pas l'aire de déplacer les foules... si ils y en a qui sont dans la capacité de me répondre, qu'il m'aide un peu s'il vous plait...
par El_Gato » 23 Mar 2006, 13:52
Salut,
La loi faible des grands nombres dit que si)
est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, alors la moyenne
converge en probabilité vers  = \mbox{E}(X_1))
, ce qui signifie que pour tout 
, la probabilité  | > \varepsilon ))
converge vers 0.
La preuve utilise l'inégalité de Bienaymé plus la remarque que la variance de
est la variance  = V(X_i))
divisée par n.
La loi forte des grand nombres dit qu'on a une convergence presque sûre de vers )
.
Alors si f est continue, la loi forte des grands nombres permet de conclure que)
converge p.s. vers ))
.
L'hypothèse sur la variance que tu donnes n'apporte rien de plus j'ai l'impression.
C'est cela que tu voulais savoir ?
Cela permet de résoudre de nombreux exercices difficiles d'analyse. Par exemple, si f est continue sur
:
 \mbox{d}x_1\mbox{d}x_2 \cdots \mbox{d}x_n = f(\frac{1}{2}))
.
Cela se démontre en une ligne avec la loi des grands nombres (forte): prendre des
iid sur [0,1] de loi uniforme et le résultat est immédiat.
Ai-je répondu à ta question ?
Dans ton énoncé, E(f) ne signifie rien: seuls))
, ))
ou ))
signifient quelque chose.
En général on n'a pas) = f(\mbox{E}(X)))
pour une v.a. X, car ) = \int f(x) \mbox{dP}_X(x))
alors que ) = f\left(\int x \mbox{dP}_X(x) \right))
. Si f est convexe, on a une inégalité, dite de Jensen.
La loi faible des grands nombres dit que si
La preuve utilise l'inégalité de Bienaymé plus la remarque que la variance de
La loi forte des grand nombres dit qu'on a une convergence presque sûre de
Alors si f est continue, la loi forte des grands nombres permet de conclure que
L'hypothèse sur la variance que tu donnes n'apporte rien de plus j'ai l'impression.
C'est cela que tu voulais savoir ?
Cela permet de résoudre de nombreux exercices difficiles d'analyse. Par exemple, si f est continue sur
Cela se démontre en une ligne avec la loi des grands nombres (forte): prendre des
Ai-je répondu à ta question ?
Dans ton énoncé, E(f) ne signifie rien: seuls
En général on n'a pas
par simplet » 23 Mar 2006, 19:45
Bah en fait ce que tu m'a répondu c'est ce que j'avais vu dans les bouquins, et c'est justement le lien entre ton énoncé et celui de mon prof (le premier message est son énoncé de la loi faible des grands nombres) que je ne comprends pas...
merci
merci
par El_Gato » 23 Mar 2006, 20:50
simplet a écrit:Bah en fait ce que tu m'a répondu c'est ce que j'avais vu dans les bouquins, et c'est justement le lien entre ton énoncé et celui de mon prof (le premier message est son énoncé de la loi faible des grands nombres) que je ne comprends pas...
merci
D'abord cela m'étonnerait que ton prof t'ai dit que
Ensuite si dans tes notes tu as écrit
Je peux vraiment pas t'en dire plus. Ce que tu as écrit n'a aucun sens. Je doute que ton prof ait écrit cela. Et je te le répète: E(f(X)) n'est pas égal à f(EX). Tout ce que tu peux dire c'est que f(E(Yn)) converge vers f(E(X1)) parceque f est continue.
La prochaine fois prend mieux tes notes.
par simplet » 24 Mar 2006, 15:12
Bon, je t'écris exactement l'énoncé de la loi faible des grands nombres (de mon prof), en laissant volontairement le E(f) [et je n'ai pas fait de faute de recopiage, etant donné que cette ecriture reviens plusieurs fois]
"""""
Soit X une va dépendante dun parametre n, desperance E(X) et decart type Cn.
Alors si on prend une application continue f de [0,1] dans R ou C, alors E(f) tend vers f(E(X1)).
De plus, si lecart type tend vers 0, alors (E(X)->E(f)) tend vers f . » » » » » » » » » » » » »
Personnellement je trouve que cet énoncé nest pas des plus rigoureux. Dapres ce que tu dis , lisons le en remplacant les E(f) par E(f(Xn)).
Et justement, je trouve que cet énoncé na aucun rapport avec ton énoncé et les enoncés du theoreme du meme nom dans les livres
(peut etre que ce theoreme te dis quelque chose ? a-t-il un autre nom ? personnellement je nen sais rien)
Merci
"""""
Soit X une va dépendante dun parametre n, desperance E(X) et decart type Cn.
Alors si on prend une application continue f de [0,1] dans R ou C, alors E(f) tend vers f(E(X1)).
De plus, si lecart type tend vers 0, alors (E(X)->E(f)) tend vers f . » » » » » » » » » » » » »
Personnellement je trouve que cet énoncé nest pas des plus rigoureux. Dapres ce que tu dis , lisons le en remplacant les E(f) par E(f(Xn)).
Et justement, je trouve que cet énoncé na aucun rapport avec ton énoncé et les enoncés du theoreme du meme nom dans les livres
(peut etre que ce theoreme te dis quelque chose ? a-t-il un autre nom ? personnellement je nen sais rien)
Merci
par El_Gato » 24 Mar 2006, 16:39
Alors voici comment je comprend ce que ton connard de prof a écrit:
Tout d'abord, si tu as une suite Xn de variables aléatoires relles, tu peux la considérer comme une application définie sur le même espace de probabilité que les Xn et à valeurs dans IR élevé à la puissance IN.
Dire que chaque Xn est mesurable ou dire que X est mesurable c'est pareil.
Ensuite, pour une fonction f de [0,1] dans C, ce que ton prof entend par E(f), c'est l'esperance d'une fonction de Yn, où Yn est la moyenne des Xn. C'est à dire E(f(Yn)).
Alors si f est continue, E(f) c'est l'integrale de f(Yn) , sur l'espace de probabilité de départ.
Par la loi forte des grands nombres (et non pas par la loi faible contrairement à ce que a écrit ton !&@"'(&+? de prof) cette intégrale converge, quand n croit, vers l'integrale de f(EX1) sur l'espace de probabilité c'est à dire évidemment f(EX1).
Je ne vois pas ce que viennent faire les hypothèses sur la variance, et de toute façon ce n'est pas la loi faible des grands nombres qui permet d'atteindre ce résultat, mais la loi forte.
Quand à ce qui est écrit en dernier, c'est incompréhensible.
Conclusion: ton prof a besoin de vacances (et d'un bon cours de probas).
Tout d'abord, si tu as une suite Xn de variables aléatoires relles, tu peux la considérer comme une application définie sur le même espace de probabilité que les Xn et à valeurs dans IR élevé à la puissance IN.
Dire que chaque Xn est mesurable ou dire que X est mesurable c'est pareil.
Ensuite, pour une fonction f de [0,1] dans C, ce que ton prof entend par E(f), c'est l'esperance d'une fonction de Yn, où Yn est la moyenne des Xn. C'est à dire E(f(Yn)).
Alors si f est continue, E(f) c'est l'integrale de f(Yn) , sur l'espace de probabilité de départ.
Par la loi forte des grands nombres (et non pas par la loi faible contrairement à ce que a écrit ton !&@"'(&+? de prof) cette intégrale converge, quand n croit, vers l'integrale de f(EX1) sur l'espace de probabilité c'est à dire évidemment f(EX1).
Je ne vois pas ce que viennent faire les hypothèses sur la variance, et de toute façon ce n'est pas la loi faible des grands nombres qui permet d'atteindre ce résultat, mais la loi forte.
Quand à ce qui est écrit en dernier, c'est incompréhensible.
Conclusion: ton prof a besoin de vacances (et d'un bon cours de probas).
par simplet » 24 Mar 2006, 20:09
merciii beaucoup
ca va m'aider à avancer car je faisais du sur place avec cette histoire :-)
merci encore
ca va m'aider à avancer car je faisais du sur place avec cette histoire :-)
merci encore
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