Loi forte des grands nombres

[Elias]

Salut à tous, j'ai un problème sur la notion de convergence presque sûre d'une suite de variables aléatoires, je n'arrive pas à bien la comprendre et j'ai créé un contre exemple à la loi forte des grands nombres mais je ne sais pas où se trouve mon erreur.

Soit l'ensemble que l'on munit de la tribu de l'ensemble de ses parties et soit la mesure de probabilité égale à l'équipartition sur .
Ainsi, est un espace probabilisé.

Pour tout , on note la fonction définie par et si . Alors, est une fonction mesurable de dans (que l'on munit de sa tribu des boréliens). Ainsi, est une variable aléatoire.

Remarques :
1) Les ne dépendent pas de .
2) C'est une modélisation de l'expérience qui consiste à lancer un dé. On s'intéresse à l'obtention du six.
3) Chaque suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/6.


Les variables aléatoires sont indépendantes et d'espérance commune 1/6. Notons pour tout , la variable aléatoire . La loi des grands nombres dit alors que pour -presque tout, converge vers la fonction constante à 1/6.

Mais si on a pour tout et pour tout donc converge simplement vers l'indicatrice de ? Où est l'erreur ?

Je pense que les ne sont pas indépendantes, ça doit venir de là.

Où me trompe-je ?

Merci bien.

[Ben314]

Salut

1) Les ne dépendent pas de . <- Tout à fait
2) C'est une modélisation de l'expérience qui consiste à lancer un dé. On s'intéresse à l'obtention du six. <= Heuuuu... pas vraiment, ou alors un dé où toutes les faces portent le numéro 6...
3) Chaque suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/6. <= Absolument... pas du tout...


Les variables aléatoires sont indépendantes et d'espérance commune 1/6. <= Surement pas vu qu'on obtient systématiquement un six !!!!
.
.
.

Où me trompe-je ?

Ben... du début à la fin...

[Elias]

Merci de ta réponse mais peux-tu être plus précis et me dire à quel moment et pourquoi ce que je dis ne va pas dans le raisonnement suivant:

Mes variables aléatoires Xi prennent deux valeurs : 0 ou 1, jusque là, on est d'accord ?

Trouvons la loi de notre variable aléatoire.
On a :

car est l'équirépartition sur

car est l'équirépartition sur.

C'est pas ça "être une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli" ?

Quand tu me dis que c'est comme si j'avais un dé dont toutes les faces portent le numéro 6, je comprends pas car j'ai mis l'équirépartition comme probabilité. La variable aléatoire est ce à quoi on s'intéresse, ici l'obtention du 6.

Désolé, j'ai pas encore bien compris d'où venait l'erreur.

[Ben314]

Non, rien, c'est moi qui ait lu ton énoncé de travers (c'est la journée aujourd'hui...)
J'avais cru que tes lois Xi, elle prenaient la valeur 6 avec une proba =1 alors qu'elles prennent la valeur 1 avec une proba de 1/6.

Et effectivement, tes lois Xi ne sont pas du tout indépendantes vues qu'elles sont égales (et non constantes).

De toute façon, ton espace Omega est déjà trop "petit" pour modéliser ne serait ce que deux variables X1 et X2 indépendantes suivant des loi de Bernoulli de paramètre 1/6 vu qu'il faudrait avoir p(X1=1 et X2=1)=1/36 alors que tes évènements élémentaires "petit_omega" ne permettent pas d'avoir des trucs autre que des k/6 (k entier).

Donc ce que tu as, c'est une suite constante de lois qui bien évidement, converge (en loi) vers... la loi constante en question...

[Elias]

Ok merci, ça me rassure...

Donc ça vient bien de l'indépendance, mais là je comprends pas pourquoi ces variables aléatoires ne sont pas indépendantes.
Prenons les deux premières X1 et X2.

Considérons le couple de variables aléatoires définie sur à valeurs dans .

Pourquoi n'a t-on pas P( (X1,X2)=(1,1) ) = 1/36 ?

La mesure produit sur l'ensemble est toujours l'équirépartition et (X1,X2)=(1,1) se produit dans 1 cas sur 36 ?

Il doit y avoir un truc qui m'échappe.

Que vaut P( X1=1,X2=1) s'il ne vaut pas 1/36 ?

[jlb]

..

[Ben314]

Le problème c'est qu'il faudrait une certaine cohérence dans ton laiüs :
Là :

Mais si on a ...

Tu écrit du avec un seul omega dans la parenthèse (qui est un élément de {1,2,3,4,5,6})
Ce qui veut dire qu'à cet endroit là de ton laïus, la fonction Yn, elle va de dans R et que, pour tout on a où les différents Xi dépendent du même paramètre.

Alors que là :

...le couple de variables aléatoires définie sur ...

soudainement et tout d'un coup, tes deux variable X1 et X2, tu ne les regarde plus comme dépendant du même paramètre, mais avec toutes les deux des paramètres différent.
Ce qui, concernant Yn, consisterais à dire qu'elle est définie non pas sur mais sur et qu'on a .

Il est bien évident que les formules (1) et (2) n'ont a peu près rien à voir l'une avec l'autre.
Grosso modo, c'est un peu comme si disait que la fonction de R->R² qui à x associe (x,x) c'est la même chose que la fonction de R²->R² qui à (x,y) associe (x,y) !!!

En terme de proba, dans le premier cas, tu a jeté un seul et unique dés et tu as noté n fois le résultat de cet unique dès (donc évidement n fois la même chose) que tu as appelé Xn puis Yn c'est la moyenne : c'est évidement pas très passionnant comme expérience et il est complètement évident que la moyenne, elle va pas des masses bouger...
Alors que dans le deuxième cas, tu as jeté n dés (ou, ce qui revient au même, n fois le même dés), tu as noté Xn le résultat du n-ième et Yn la moyenne des n dés. Là, c'est effectivement intéressant et... la loi des grand nombre marche évidement.

[Elias]

Super Ben, j'ai parfaitement compris d'où venaient mes erreurs. Me voilà rassuré !