Loi forte des grands nombres, v.a. non intégrables

[adrien69]

Salut tout le monde,

Dans le cadre d'un exo de proba, on me demande de montrer que si je travaille avec une suite de v.a. réelles non intégrables alors n'est pas bornée de façon presque sûre. Donc pour parler avec les mains, on me demande de montrer que la moyenne de mes v.a. fait n'importe quoi de façon presque sûre.

Voilà ce que je me suis dit.
En choisissant un A>0 entier,



Le deuxième ensemble est inclus dans la liminf des

Et ça je sais montrer que c'est de mesure nulle.

Donc comme je considère la mesure de Lebesgue qui est complète, mon ensemble de gauche est de mesure nulle, et comme l'ensemble borné vaut la réunion sur desdits ensembles, cet ensemble est de mesure nulle. J'ai raison ou j'ai tort quelque part ?

[adrien69]

(Allez, pour une fois que c'est moi qui demande un truc ! :cry: :cry: )

[Doraki]

pourquoi t'as changé Sn en Xn dans ton inclusion ?
Les Xi sont indépendantes j'imagine ?
Est-ce qu'elles sont de même loi ?

[adrien69]

Oui aux deux dernières questions. J'ai fait une faute de frappe sinon dans mon inclusion. Je rectifie.

En fait non pas d'erreur de frappe je pense.
Mon idée c'est que le cas le plus chiant est le cas où le signe de s'alterne à chaque itération. Ma condition permet alors de s'assurer que l'on a bien dans ce cas là, et donc dans tous les cas.

[Doraki]

L'inclusion reste vraie si tes variables sont positives, donc c'est ptetre pas grave.

Dans le cas de variables positives il suffit d'écrire Xi = Yi + Zi où Zi > 0 et non intégrable, et E[Yi] = A.
Alors la moyenne des Xi > la moyenne des Yi, qui elle tend presque surement vers A, donc va etre presque surement > A/2 à partir d'un certain rang.
Et d'ailleurs on en conclut que ta moyenne tend presque surement vers l'infini.

[Doraki]

En fait non pas d'erreur de frappe je pense.

Si tu remplaces à gauche le "|Sn/n| < A" par "|Sn/n| < A/2" c'est bon, et le reste tient si tu sais montrer ton P(liminf ...) = 0

[adrien69]

Si tu remplaces à gauche le "|Sn/n| < A" par "|Sn/n| < A/2" c'est bon, et le reste tient si tu sais montrer ton P(liminf ...) = 0

Ok ça marche, et je suis convaincu, c'est nickel.
Merci bien.

(désolé pour le temps de réponse, j'étais au ciné)