Série entière

[Holomorph]

Bonjour, j'ai quelques petits soucis avec l'exercice suivant.

Enoncé

Soit un polynôme de degré .
(1) Calculer le rayon de convergence de

(2) Déterminer la nature de la somme de la série et calculer celle-ci.
Indication. Procéder par récurrence sur et multiplier par
(3) Comment peut-on généraliser ce résultat ?

Mes recherches sur la question

Le point (1) ne me pose pas de problème. Le rayon de convergence est vu le critère du quotient.

Le point (2) me pose quelques soucis. Comme indiqué, je procède par récurrence. Le cas de base est assez évident car on observe directement la série géométrique. Par contre, pour la récurrence, je ne vois pas du tout. J'ai déjà calculé les cas , mais en vain.

N'ayant pas trouvé le point (2), je ne saurais pas réfléchir sur le point (3).

Merci de votre aide...

[Holomorph]

:triste: Personne ne semble interesser par mon problème ! Peut-être que plusieurs personnes ne sont pas plus inspirés que moi...

[fahr451]

bonjour

calcule la somme lorsque
P
P =Pk = X(X-1)...(X-k+1) ; P0= 1
puis utilise que

(P0,...,Pq) est une base de Rq[X]

[Holomorph]

En tout cas, merci de prendre part et de réfléchir à mon exercice.

Je ne crois pas que ça me servirait à grand chose car il s'agit de polynômes complexes. De plus, pour avoir la récurrence, je dois pouvoir écrire à l'aide des autres polynômes. Je ne peux l'écrire à l'aide de la base proposée vu qu'il est de degré et les autres sont au plus de degré .

Si je me trompe, c'est que je n'ai pas saisi l'idée proposée...

Je vais peut-être situé le cadre du cours où l'exercice m'a été proposé. Il s'agit d'un exercice de révision sur la théorie élémentaire des fonctions holomorphes (Définition, représentation de Cauchy, Séries, Taylor, Laurent, Résidus,...) avant de commencer le complément sur la théorie plus "globale" des fonctions d'une variable complexe et l'introduction des fonctions de variables complexes...

[fahr451]

heu

R ou C ne change rien on a tjrs une base

il n'y a pas de récurrence dans ma méhode c'est immédiat


tu as fait le calcul au moins avec Pk ? (immédiat)
Pour P dans Cq[X] P est cbl des Pk k = 0,...,q

[Holomorph]

Pour ne pas me mélanger avec les notations, je rebaptise

Ainsi, j'ai calculé les premiers : .
J'essaye d'écrire les polynômes en fonction des :

Ca devient vite "trucoïde"...

Je ne vois pas en quoi cela va me servir...

[Holomorph]

Ah oui, j'ai oublié de dire que j'écris

[fahr451]

heu


NE PAS DEVELOPPER

la famille est étagée en degré donc libre avec le bon nombre de vecteurs donc base de Cq[X]


k= 4
sigma m(m-1)(m-2)(m-3) z^m ne fait pas tilt ?

[Holomorph]

Tilt, je ne sais pas... mais j'ai l'impression que vous à la première idée que j'ai eu. Pour calculer le cas , j'ai pensé à
[CENTER][/CENTER]
où représente la dérivée.
Donc, j'ai écrit


J'ai fait pareil pour les cas et . J'obtiens

et


Est-ce cela à quoi je dois tilter ? J'ai eu bon vérifier mes calculs, c'est là que je bloque. Je ne vois guère de potielle récurrence... A moins d'une erreur monstrueuse de ma part, voilà...

[fahr451]

heu

tu es tétu pas de récurrence nécessaire!

pour P2 ne développe pas ds la base canonique!!

sigma m(m-1) z^m = z^2 sigma m(m-1) z^(m-2) =2 z^2 /(1-z)^3

en dérivant deux fois la série géométrique

[Holomorph]

Il faut le temps, mais je crois avoir saisi le chmilblik.

Une base de est donnée par où on définit . Ainsi, par définition d'une base, on peut écrire le polynôme dans cette base. Il faut donc que je regarde la série non plus avec mais avec les .

De manière plus explicite, j'écris . Alors, il vient


Cette fois-ci, j'espère que c'est la bonne. Si c'est correct, je ne vois pas pourquoi le prof nous conseillait de procéder par récurrence (je remets une couche sur ma récurrence...).

Pourrais-je avoir aussi une indication sur la généralisation de ce résultat (c'est le point (3) de l'exercice).

[fahr451]

là c'est correct

c'est la méthode habituelle pour sommer ces séries

la récurrence me dépasse... (enfin j'ai pas cherché)

le point 3 me semble autrement plus compliqué

la généralisation serait ( à mon sens ) pour P(m) = sigma ak m^k une série entière de rayon infini

mais même là la sommabilité de la série double n'est pas garantie même ds le cas où les ak sont des 0(1/k!)
si un jour tu as une correction fais moi signe je suis intéressé

[Holomorph]

En tout cas, je vous remercie pour votre aide et votre patience.

Je ne sais pas encore quand aura lieu la correction des exercices. On doit d'abord avancer dans la matière théorique avant d'avoir les séances de répétition. C'est un peu spécial, le prof nous suggère des exercices pendant le cours théorique et ceux-ci sont à préparer pour une prochaine répétition.

La réponse viendra peut-être d'ici un mois. J'espère que je n'oublierai pas... J'ai en tout cas mis un rappel sur mon brouillon.

Merci.