Série entière - convergence uniforme

[MacManus]

Bonsoir

On considère la série entière suivante :



Le rayon de convergence est 1

Comment montrer qu'elle converge uniformément sur [0,1] ?
Quelle est sa somme en z = 1 ?
Converge - t - elle uniformément sur ]-1,0] ?

ça fait assez longtemps que je n'ai pas fait de calculs avec les séries et j'aurais besoin d'un coup de main.

Je ne me souviens plus très bien du critère de convergence uniforme. Quelqu'un peut-il me le rappeler ?

Pour calculer la somme, je peux dériver pour trouver une expression plus simple de cette série, puis intégrer et prendre la valeur en z = 1, c'est bien ça ?

Merci beaucoup !

[mathelot]

hints:

Ecrire un critère de Cauchy uniforme:

utiliser la transformation d'Abel (qui est une sorte d'intégration par parties
discrète) avec





Les sommes partielles des restent "gentilles" , c'est a dire uniformément majorées sur tout compact tant que z ne s'approche pas trop de -1.

Cordialement,

[Joker62]

???
Un Rayon de Convergence négatif ?

Bon ok on a R = 1
On a un théorème qui nous dit : pour tout r < R, on a convergence uniforme sur [-r;r]
Donc en gros on a convergence uniforme sur [0;1[
Reste à la voir en 1, et là, tu utilises le Lemme d'Abel avec un ptit rapel sur le critère de convergence pour les séries alternées.
Pour ce qui est de la somme, elle se fait facilement par dérivation comme tu l'as dit, et d'ailleurs elle est très connue aussi...

[MacManus]

Critère de Cauchy uniforme :

Soient les suites des sommes partielles et

pour tout >0, il existe un entier N, tel que pour tout n>p>0


cad :

...

[MacManus]

Bon ok je vais prendre le temps de revoir tout ça. merci !!

[MacManus]

J'ai bien compris comment montrer la convergence de cette série à l'aide du critère spéciale des séries alternées, mais je bloque sur Abel...

Je sais que la formule d'IPP discrète peut s'écrire :

où

merci de bien vouloir m'expliquer d'avantage

[Joker62]

Me suis un peu emmélé les pinceaux désolé...
Je reprend, la convergence est donc bien uniforme sur ]-1;1[ il reste donc à montrer que la série converge uniformément pour z = 1.

Le théorème d'Abel (et non le Lemme d'Abel) lui sert à calculer la somme d'une série entière en un point du bord du disque de convergence, c'est donc la question d'après.

[kazeriahm]

???
Un Rayon de Convergence négatif ?

Bon ok on a R = 1
On a un théorème qui nous dit : pour tout r < R, on a convergence uniforme sur [-r;r]
Donc en gros on a convergence uniforme sur [0;1[
Reste à la voir en 1, et là, tu utilises le Lemme d'Abel avec un ptit rapel sur le critère de convergence pour les séries alternées.
Pour ce qui est de la somme, elle se fait facilement par dérivation comme tu l'as dit, et d'ailleurs elle est très connue aussi...

Bonsoir,

la convergence uniforme sur tout compact n'entraine pas la convergence sur le disque ouvert !

Moi j'aurais dit ca :

la série f a pour somme f(x)=ln(1+x) sur [0,1]

Maintenant

Le membre de droite est majoré sur [0,1] par sa valeur en x=1 (en utilisant un théorème sur les restes de séries alternées)

Or tend vers 0 quand n tend vers l'infini puisque c'est le reste d'une série convergente, ce qui montre la convergence uniforme sur [0,1]

[mathelot]

Le membre de droite est majoré sur [0,1] par sa valeur en x=1 (en utilisant un théorème sur les restes de séries alternées)

Pourquoi majorait t on l'intégralité du reste par la valeur en x=1
alors que la somme est alternée ?

Or tend vers 0 quand n tend vers l'infini puisque c'est le reste d'une série convergente, ce qui montre la convergence uniforme sur [0,1]

on peut majorer ponctuellement le reste par puis uniformément par

[MacManus]

Bonjour à tous... merci mathelot, Joker62 et kazeriahm pour vos réponses, je cerne beaucoup mieux le problème.

J'essaye de résumer :

Le rayon de convergence est R = 1.
On applique le critère spécial des séries alternées pour montrer que la série converge pour tout , tel que |z| < 1.
On sait que toute série entière converge normalement donc uniformément sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence.
la fonction f(z) = ln(1+z) (qui est la somme de la série) et le DSE sont définies et égales sur le disque ouvert.


Mais je ne parviens toujours pas à bien comprendre comment "prolonger" l'égalité entre la somme et le DSE en 1, pour avoir égalité, continuité.

Je crois comprendre le message de kazeriahm sur la majoration du reste, qui dois tendre vers 0. Cependant je ne fais pas le lien avec le dernier message de mathelot en réponse à kazeriahm :

Pourquoi majorait t on l'intégralité du reste par la valeur en x=1
alors que la somme est alternée ?



on peut majorer ponctuellement le reste par puis uniformément par

Est-il possible de préciser un peu plus ce passage "délicat" pour montrer la convergence sur le bord ? Merci beaucoup !

[busard_des_roseaux]

avec les propriétés des séries

[MacManus]

Merci busard_des_roseaux c'est d'accord ! On a donc convergence uniforme sur [0,1]. La somme en z = 1 est f(1) = ln(2). Elle ne converge pas uniformément sur ]-1,0] qui n'est pas un compact et en remarquant que la somme n'est pas définie en z = -1.