Spé maths suite et division euclidienne

[cactus II]

voici l'énoncer

1) n est un entier naturel
determiner selon les valeurs de n le reste de la division euclidienne de
(5n+21) par (n+3)

2) n étant un entier naturel on definit la suite (Un) par Un=n(n+2)(n+4)
a) vérifier que U5 et U10 sont deux entiers divisibles par 3
b) démontrer que pour tout entier n, Un est divisible par 3 (on pourra écrire la division euclidienne de n par 3 et distinguer trois cas selon les valeurs du reste


pour le 1) j'ai calculé quelque valeur de n
pour n=0 reste de la division 0
n=1 2
n=2 1
n=3 0
n=4 6
et pour n supérieur à 4 le reste est 6
mais je sais pas comment le demontrer



pour le 2)
a) U5= 315 = 3*105 donc divisible par 3
et U10 = 1680 = 3*560 donc idem

mais pour le b je vois pas sur quoi partir

si vous pouvez m'aider a décoller ca serait super sympa

merci

[abcd22]

Bonjour,
Pour le 1 on a 5n + 21 = 5 (n+3) + ...

Pour le 2 la méthode est dans l'énoncé :
Cas 1 : n = 3k, U_n = ...
Cas 2 : n = 3k + 1, U_n = ...
Cas 3 : n = 3k + 2, U_n = ...
À chaque fois on va trouver qu'un des facteurs de U_n est divisible par 3.

[cactus II]

pour le premier je suis d'accord on factorise
donc = 5 ( n+3 ) + 6 mais après je vois pas comment explique car il y a 4 restes possible soit 1,2,0,ou 6

pour le 2 pourquoi n=3k
autrement
n = 3k Un= 3k ( 3k + 2 ) ( 3k + 4 )
n = 3k + 1 Un= 3k + 1 ( 3k + 3 ) ( 3k + 5 )
n = 3k + 2 Un= 3k + 2 ( 3k + 4 ) ( 3K + 6 )

[abcd22]

pour le premier je suis d'accord on factorise
donc = 5 ( n+3 ) + 6 mais après je vois pas comment explique car il y a 4 restes possible soit 1,2,0,ou 6

Par définition le reste de la division euclidienne de a par b est compris entre 0 (inclus) et b (exclu), donc le reste ne peut être 6 que si b est strictement supérieur à 6.

pour le 2 pourquoi n=3k

Parce que c'est écrit dans l'énoncé de faire la division euclidienne de n par 3 et que ça donne les 3 cas que j'ai écrits.

autrement
n = 3k Un= 3k ( 3k + 2 ) ( 3k + 4 )
n = 3k + 1 Un= 3k + 1 ( 3k + 3 ) ( 3k + 5 )
n = 3k + 2 Un= 3k + 2 ( 3k + 4 ) ( 3K + 6 )

Il faut mettre en évidence le facteur 3 à chaque fois, pour le premier cas Un = 3 [k(3k+2)(3k+4)], on peut aussi factoriser les 2 autres par 3 (ne pas oublier les parenthèses autour de 3k + 1 et 3k + 2).

[cactus II]

d'accord donc si n+3 est supérieur strictement à 6 le reste est 6
pour n+3 entre 0 inclus et 6 exclut on montre en faisant le calcul
donc l'exercice 1 j'ai compris

[cactus II]

le deuxième exos
1er cas Un = 3 [ k ( 3k + 2 ) ( 3k + 4 )
2eme cas Un = 3 [ ( k + 1/3 ) ( 3k + 3 ) ( 3k + 5 )
et 3eme cas Un = 3 [ ( k + 2/3 ) ( 3k + 4 ) ( 3k + 6 )

avec sa ca suffit pour démontrer l'exercice non? le facteur étant divisible par 3
Un est divisible par 3

[cactus II]

merci de ton aide

[abcd22]

2eme cas Un = 3 [ ( k + 1/3 ) ( 3k + 3 ) ( 3k + 5 )
et 3eme cas Un = 3 [ ( k + 2/3 ) ( 3k + 4 ) ( 3k + 6 )

Sauf que k + 1/3 et k + 2/3 ne sont pas entiers donc ça ne prouve pas la
divisibilité par 3, par contre on a 3k + 3 = 3 (k + 1) et k + 1 est entier,
pareil avec 3k + 6 = 3 (k + 2)...