Des ouverts et de la densité

[Pythix]

Bonjour,
voici mon problème

1) Montrer que si U et V sont deux ouverts denses de alors est encore dense dans .

2) on a E un sous espace strict de (dimE<n).
je dois montrer que le complémentaire de E dans est un ouvert dense de .

pour la première je prends donc un x dans
je sais qu'il existe une suite de U et une suite de V qui converge vers X
je pensais définir une suite de qui à partir d'un certain rang, aura ses termes pairs égaux à la suite de U et ses termes impairs égaux à la suite de V
cette suite convergera vers x.
mais je vois pas comment montrer que x est dans ni comment utiliser la notion d'ouvert avec .

Je suis "ouvert" à toute aide !

[nuage]

Salut,
sauf erreur de ma part, pour la question 1,

[modification] il y a eu erreur de ma part.
Mais on peut essayer de montrer que l'union des complémentaires de U et V est d'intérieur vide.

[fahr451]

soit O un ouvert non vide O inter U est non vide ouvert donc rencontre V

[Pythix]

ok, il vaut mieux raisonner topologiquement...

[aviateurpilot]

soit un ouvert dense dans
supposons que .

puisque et dense dans
alors
d'ou
en particulier d'ou (absurd)
donc
inversement si un ouvert tel que alors est dense dans
en effet si
(car )
soit donc
on a donc et
d'ou est dense dans

soit un ouvert de
dense dense

1) on a
donc
d'ou par suite est dense dans car est un ouvert

2) supposons que une base de d'ou car
donc impossible
donc et ouvert
d'ou est dense dans

[Pythix]

merci, je n'avais pas vu que U est ouvert dans E ssi int(E-U)=0

[fahr451]

1) on a
donc
d'ou par suite est dense dans car est un ouvert

2) supposons que une base de d'ou car
donc impossible
donc et ouvert
d'ou est dense dans

j'ai également une démonstration qui ne tient pas dans la marge de l'encyclopédie universalis

[aviateurpilot]

j'ai également une démonstration qui ne tient pas dans la marge de l'encyclopédie universalis

l'encyclopédie universalis !! c'est koi ca

[quinto]

Salut,
c'est vrai dans tout espace de Baire (notamment dans tout espace métrique complet) et c'est un cas très particulier du théorème de Baire qui tient en quelques lignes ....

[quinto]

Salut,
c'est vrai dans tout espace de Baire (notamment dans tout espace métrique complet) et c'est un cas très particulier du théorème de Baire qui tient en quelques lignes ....

D'ailleurs pour ce cas particulier, on n'a pas besoin de la complétude.

[fahr451]

soit O un ouvert non vide O inter U est non vide ouvert donc rencontre V

ça ne vous pas comme preuve ?

[Pythix]

ca parait bien, merci!

[Pythix]

re,
je n'arrive pas à montrer que pour n'est isométrique ni à ni à

[Pythix]

je ne comprend pas le passage :

alors d'ou car
donc impossible

d'ou sort le en?

[Pythix]

en fait je comprend pas pourquoi on pose

[fahr451]

à quelle question exacte en es tu ?

reformule la (moi j'ai montré la 1)

[Pythix]

je regarde la question 2, et la réponse de aviateurpilot

[Pythix]

2) supposons que une base de d'ou car
donc impossible
donc et ouvert
d'ou est dense dans

pourquoi poser ?
peut on utiliser e_n ?

[aviateurpilot]

car mais

[fahr451]

parceque ça marche


B(x,r) est incluse dans E


donc le vecteur

y=x + e(n)r/(2lle(n)ll ) est dans E car à une distance r/2 de x

donc e(n) = (y-x)2 lle(n)ll /r aussi

or e(n) n 'est pas dans E par hypothèse sur la base (e(1),...,e(n) ) de R^n