Exercice analyse

par **J-R** » 22 Juil 2007, 18:06

bonsoir,

un exercice me pose problème:

Soit a un réel et f une application de R vers R dérivable en a telle que : f(a)=a et

Justifier qu'il existe un intervalle I contenant a vérifiant:
si

alors

merci

:++:

par **anima** » 22 Juil 2007, 18:10

J-R a écrit:bonsoir,

un exercice me pose problème:

Soit a un réel et f une application de R vers R dérivable en a telle que : f(a)=a et

Justifier qu'il existe un intervalle I contenant a vérifiant:
si alors

merci

:++:

Qu'est-ce que

évoque pour toi?

par **J-R** » 22 Juil 2007, 18:13

bonsoir,

mais oui je sais que c'est le taux d'accroissement mais ce n'est pas égale à f'(a) car x ne tend pas forcément vers a ?

pour moi ca le membre de gauche n'est pas égale à 0.... :hein:

par **anima** » 22 Juil 2007, 18:17

J-R a écrit:bonsoir,

mais oui je sais que c'est le taux d'accroissement mais ce n'est pas égale à f'(a) car x ne tend pas forcément vers a ?

pour moi ca le membre de gauche n'est pas égale à 0.... :hein:

Ta fonction est dérivable, continue, et donc la dérivée est continue, non? Alors, que peux tu dire si:
- Tu as 0 pour x=a
- Pour le reste, tu as le taux de variation d'une variation ayant une dérivée continue sur un intervalle devant etre compris entre [-1/2;+1/2] pour satisfaire l'inéquation...

Alors?

par **J-R** » 22 Juil 2007, 18:21

mais le cas où x=a n'existe pas ?

une dérivée continue a quoi ca peut servir ?

quelle est la piste que vous voulez me donner car je ne sais pas où je vais là ....

merci

par **anima** » 22 Juil 2007, 18:28

J-R a écrit:mais le cas où x=a n'existe pas ?

a existe; on te dit f: x->f(x) R->R avec f(a)=a. C'est une supposition de l'énoncé.

une dérivée continue a quoi ca peut servir ?

Que peux-tu dire d'une fonction continue? Qu'elle peut se tracer d'un trait de crayon, et donc qu'elle ne passe pas d'une valeur a une autre (par exemple, de 1 vers 2 comme le fait la fonction qui a x associe la partie entiere de x.)

quelle est la piste que vous voulez me donner car je ne sais pas où je vais là ....

Je ne te donne pas une piste, j'essaye de réfléchir avec toi. Mais si j'étais toi, je justifierai en supposant que la fonction est dérivable (donc continue) sur R, et que sa dérivée est aussi continue sur R.

par **J-R** » 22 Juil 2007, 18:36

non mais je voulais dire que dans le rapport f(x)-a/(x-a) x doit etre différent de a ?

mais a quoi servira de montrer que f est dérivable sur R ?

je ne sais pas quoi réfléchir.... :hein:

je vais manger a+

par **J-R** » 22 Juil 2007, 18:39

et peut on supposer que (f(x)-a)/(x-a) = f'(a) si oui pourquoi car x ne tend pas forcément vers a (donc ce n'est pas forcément un taux d'accroissement ) ai-je raison ?

merci

par **J-R** » 22 Juil 2007, 19:01

s'il vous plait .....

merci :we:

par **cesar** » 22 Juil 2007, 19:54

J-R a écrit:non mais je voulais dire que dans le rapport f(x)-a/(x-a) x doit etre différent de a ?

anima t'a pourtant tout donné ou presque...
la limite de f(x)-a/(x-a)= f'(a)=1/4 lorsque x tend vers a...
donc f(x)-a/(x-a) -1/4 tend vers ? sur au moins un voisinage proche de a (un intervalle)...
si je vais plus loin, je te dis tout...et c'est plus du jeu...

par **J-R** » 23 Juil 2007, 11:32

Si considère x au voisinage de a alos on a bien un taux d'accoissement donc le membre de gauche tend vers 0 qui est inférieur à 1/2.....

mais cela ne prouve pas l'existence d'un intervalle ?

merci :)

par **J-R** » 23 Juil 2007, 12:48

s'il vous plait.....

merci :)

par **Ledescat** » 23 Juil 2007, 13:36

Bonjour.
Le fait que f'(a)=1/4 signifie:

(1)

Et le fait que (c'est un cas général):

signifie:

[pour tout epsilon>0, il existe eta>0]
Tel que si

alors

Ici, tu traduis (1) par ce que je viens de te dire.

tq si

alors

Comme ça marche pour tout epsilon>0, tu peux prendre epsilon=1/2

Et ça devient:
Pour

,il existe

tel que si

, alors

Et ton intervalle cherché est

(tu sais simplement qu'il existe)

par **J-R** » 23 Juil 2007, 13:52

ok c'est j'ai tout compris.

je vous remercie

en fait c'est une application directe d'une limite finie en un point (je verrais en terminale n'est ce pas ?)

a+ :++:

par **Ledescat** » 23 Juil 2007, 13:53

J-R a écrit:
en fait c'est une application directe d'une limite finie en un point (je verrais en terminale n'est ce pas ?)

Exactement :we: .
Mais on revient très rarement (voire jamais) aux définitions fondamentales des limites en TS.

par **theluckyluke** » 24 Juil 2007, 11:22

Ta fonction est dérivable, continue, et donc la dérivée est continue, non?

n'existe il pas des fonctions dérivables qui admettent des dérivées non continues?

par **Ledescat** » 24 Juil 2007, 11:35

En fait je n'arrive pas à en trouver. Car si la dérivée n'est pas continue en a, cela signifie que la pente à gauche et à droite en a sont différentes, donc que f n'était pas dérivable en a.
Quelqu'un pour la réponse ?

par **anima** » 24 Juil 2007, 11:59

Ledescat a écrit:En fait je n'arrive pas à en trouver. Car si la dérivée n'est pas continue en a, cela signifie que la pente à gauche et à droite en a sont différentes, donc que f n'était pas dérivable en a.
Quelqu'un pour la réponse ?

. continue. dérivable pour tout R sauf x=0, mais dérivable a gauche et a droite en ce point.

par **Ledescat** » 24 Juil 2007, 12:40

anima a écrit:. continue. dérivable pour tout R sauf x=0, mais dérivable a gauche et a droite en ce point.

J'en doute.

par **anima** » 24 Juil 2007, 12:43

Ledescat a écrit:J'en doute.

Ah oui pardon, juste....J'ai dit une connerie.

Pour une fonction dérivable a gauche et a droite mais pas totalement, il faudrait prendre une fonction double, sur 2 intervalles.

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