Divisibilité spé maths

[Anonyme]

Bonjour,

Le 17/10/2003 00:42, Maxi a écrit :

> Bon, je te la refais avex les connaissances de terminale. Comme je suis
> sadique, je te le donne sous forme d'exo:-)

Il y a bien longtemps que j'ai quitté la terminale. Je peux jouer quand
même ?

> Soit p un nombre premier.
> Dans la suite, entier=entier relatif.
>
> 1) Soit P un polynôme à coefficients entiers et a un entier. Montrer qu'il
> existe un polynôme à coefficients entiers Q et un entier b tels que
> P(x)=(x-a)*Q(x)+b

Jusque là ce n'est pas trop dur. J'y suis arrivé par récurrence sur le
degré de P(x).

Si deg(P) 2) Soit a un entier. Montrer que a^p=a [p].[/color]

Là j'ai eu plus de mal à savoir comment faire, mais finalement j'y
arrive par récurrence aussi.

C'est évident pour a=0. 0^p=0, modulo ou pas.

Supposons que c'est vrai pour un a donné : a^p=a [p], et montrons-le
pour a+1.
(a+1)^p = a^p + p.a^(p-1) + ... + p.a + 1
En dehors du premier et du dernier termes, tous les facteurs sont des
C(p,k) qui sont divisibles par p.
Donc (a+1)^p = a^p + 1 = a + 1 [p]
De proche en proche, on montre donc que la relation est vérifiée pour
tout a positif. Pour les a négatifs, c'est la même chose (remplacer a+1
par a-1 dans la récurrence, ça marche tout de suite pour p premier
impair, et pour p=2 ce n'est guère plus dur).

> Montrer que, si p ne divise pas a, a^(p-1)=1[p].

Facile.
p divise a^p-a = a.(a^(p-1) - 1)
Comme p est premier, s'il ne divise pas a, il divise (a^(p-1) - 1).
D'où a^(p-1)=1[p]

> 3) Soit P(x)=x^(p-1)-1.
> Montrer qu'il existe un polynôme à coefficients entiers Q, dont tous les
> coefficients sont des multiples de p, tel que
> P(x)=(x-1)...(x-(p-1))+Q(x).

Je cherche encore. Comme je n'ai pas encore utilisé le résultat du (1),
je suppose que je dois l'appliquer successivement avec a=1, a=2, etc.
jusqu'à a=p-1.

> 4) En déduire que p divise (p-1)!+1.

En utilisant le (3) :
P(p) = p^(p-1) - 1 = (p-1)(p-2)...1 + Q(p) = (p-1)! + Q(p)
D'où (p-1)! + 1 = p^(p-1) - Q(p).
p divise p^(p-1) et Q(p), donc il divise (p-1)! + 1

> N'hésite pas à me demander si tu cales! (je ne me rends pas trop compte de
> la difficulté...)

En dehors du (3) que je n'ai pas encore trouvé, je n'ai rien utilisé de
plus compliqué que la formule du binome (a+b)^p. Elle a été vue en
terminale, ainsi que le fait que les C(n,p) sont divisibles par n pour p
différent de 0 et n ?

[Anonyme]

"Olivier Miakinen" a écrit

OK pour 1, 2 et4.
[color=green]
> > 3) Soit P(x)=x^(p-1)-1.
> > Montrer qu'il existe un polynôme à coefficients entiers Q, dont tous les
> > coefficients sont des multiples de p, tel que
> > P(x)=(x-1)...(x-(p-1))+Q(x).
>
> Je cherche encore. Comme je n'ai pas encore utilisé le résultat du (1),
> je suppose que je dois l'appliquer successivement avec a=1, a=2, etc.
> jusqu'à a=p-1.[/color]

Exactement.
En fait: P(x)=(x-1)Q(x)+c_1, avec c_1 entier. En regardant la valeur en x=1
modulo p, on voit que c_1 est un multiple de p.
Maintenant, Q(x)=(x-2)R(x)+c_2. En regardant modulo p en x=2, on voit que
c_2 est congru à Q(2). Or 0=P(2)=Q(2) modulo p, donc c_2 est un multiple de
p.
On a donc P(x)=(x-1)(x-2)R(x)+S(x), où les coeffs de S sont des multiples de
p.
Au cran suivant, on va avoir 0=P(3)=2R(3) modulo p, donc R(3)=0 modulo p,
etc.
Tout se passera bien, on tombera sur des relations du genre:
0=P(k)=(k-1)!R(k) modulo p. On en déduit que R(k)=0 modulo p car p est
premier à (k-1)!, car 0 En dehors du (3) que je n'ai pas encore trouvé, je n'ai rien utilisé de
> plus compliqué que la formule du binome (a+b)^p. Elle a été vue en
> terminale, ainsi que le fait que les C(n,p) sont divisibles par n pour p
> différent de 0 et n ?[/color]

Tout à fait. C'est juste que je ne suis pas super au courant de
l'arithmétique de terminale.

--
Maxi

[Anonyme]

Le Thu, 16 Oct 2003 15:14:04 +0200, Ghostux a écrit :

> Bonjour, j'ai une petite question .

> Soit A = (5n -3)/(n+1)

> Comment est ce que je pourrais determiner les valeurs de n, pour que A
> appartienne à IN ???? (par le calcul bien evidemment ;O) )

Tu traces la courbe représentative de x->A(x), après l'avoir étudiée.

nicolas patrois : pts noir asocial
--
GLOU-GLOU

P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués qu'ils sont inoffensifs...
P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de news:
3f8f1e9d$0$2771$626a54ce@news.free.fr...
> Bon, je te la refais avex les connaissances de terminale. Comme je suis
> sadique, je te le donne sous forme d'exo:-)
>
> Soit p un nombre premier.
> Dans la suite, entier=entier relatif.
>
> 1) Soit P un polynôme à coefficients entiers et a un entier. Montrer qu'il
> existe un polynôme à coefficients entiers Q et un entier b tels que
> P(x)=(x-a)*Q(x)+b
>
> 2) Soit a un entier. Montrer que a^p=a [p].
> Montrer que, si p ne divise pas a, a^(p-1)=1[p].
>
> 3) Soit P(x)=x^(p-1)-1.
> Montrer qu'il existe un polynôme à coefficients entiers Q, dont tous les
> coefficients sont des multiples de p, tel que
> P(x)=(x-1)...(x-(p-1))+Q(x).
>
> 4) En déduire que p divise (p-1)!+1.
>
> N'hésite pas à me demander si tu cales! (je ne me rends pas trop compte de
> la difficulté...)

Alors oui , il y en a une, j'ai presque tout fait SAUF le debut, il n'y a t
il pas une autre methode, que la recurrence , pour demontrer que
P(x)=(x-a)*Q(x)+b ?????????? (celle là j'ai rien fait , j'ai regardé la
correction )

Pour le binome (a+p)^p , c'est au programme oui , on ne l'a pas encore vu
en obligatoire, mais on l'a appercu en spé.

Thiago

[Anonyme]

> il pas une autre methode, que la recurrence , pour demontrer que
> P(x)=(x-a)*Q(x)+b ?????????? (celle là j'ai rien fait , j'ai regardé la
> correction )

Si: Pose P(x)=somme des a_n x^n et Q(x)= somme des b_n x^n, et suppose que Q
convient. Tu trouveras alors une formule pour les b_n en fonctions des
données a_n,a et b du problème, et tu peux ensuite dire que le polynôme Q
définit avec ces b_n convient bien.

--
Maxi