Svp, besoin d'aide pour un devoir de spé

[Anonyme]

Bonjour,
Je suis totalement bloquée, pourriez me donner des indications pour
commencer le probléme.
Merci d'avance

En voici l'énoncé
I Vous avez vu que :
Th : il existe une infinité de nombre premiers

Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres de
Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la suite.
Fn= 2 ^(2n )+ 1 ( n ? 0)

1. Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?
2 .Démontrer, par récurrence, que :
pour tout entier m non nul, Fm -2 = F0 F1..F m-1
3. Montrer que : pour m ?n, pgcd (Fm, Fn) = 1
4. En déduire qu'il existe une infinité de nombres rigoureux (Soyez
rigoureux )

II Une conjecture de Fermat :
1. Que peut on dire de F0, F1, F2 et F3 ?
2. Allez un peu de courage. A vos calculatrices ( Fermat n'en avait pas)
Que peut on dire de F4 ? Expliquer votre travail
3. Et pour F5 ? Et les suivants ?
Quelle fut, à votre avis, la conjecture de Fermat ?
Qu'en pensez vous ?

III Un théorème d'Euler
TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres premiers
de la forme : 2 ^(m+1) n + 1, n étant un entier naturel.

Evidemment, nous allons le démontrer !

Soit p un diviseur de Fn= 2 ^(2m) + 1
1 Soit E ={ k ? N */ 2 ^k ? 1 [p] }
a. Pourquoi E est -il non vide ?
b. on en déduit que E admet .. .. ... ... d
c. on cherche à montrer que tout élément de E est multiple de d
Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d
En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la
division euclidienne précédente est nul.
Conclure
d. En déduire qu'il existe un entier n tel que : p - 1= d n
2 a . quoi est congru 2^(2m) modulo p ?
d divise t-il 2^m ?
b. a quoi est congru 2 ^(m+1) modulo p ? ( indication : on pourra calculer
(2^(2m))^2 et utiliser la question précédente )
d divise t -il 2 ^ (m+1)
c. En déduire d
3. déduire de 1 d et de 2 c qu'il existe au moins un entier premier de la
forme désirée
4. En déduire qu'il en existe une infinité (c'est très facile mais je vous
aide : « tout nombre s'écrivant de la forme 2^( m+1+k) h+1 est aussi de la
f .. )

5. quelques conséquences (expliquer rapidement )
a. il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!
b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1
c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 .

IV Un cas particulier, très intéressant m=5

Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n'était pas sur que F5 soit
premier.
Alors, d'après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers possibles.
1. De quelles formes sont-ils ?
2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )
3. F5 est - il ou n'est -il pas ?
4. Vérifier que l'autre facteur est bien de la forme attendue

[Anonyme]

michel girard22 écrivait :
> Je suis totalement bloquée, pourriez me donner des indications
> pour commencer le probléme.

Tu pourrais peut être commencer le problème et nous dire où tu
bloques, l'exercice étant un peu long.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

michel girard22 a écrit :
> Je suis totalement bloquée, pourriez me donner des indications pour
> commencer le probléme.

> Fn= 2 ^(2n )+ 1 ( n ? 0)
> 1. Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?

Remplacer successivement n par 0, 1 etc... jusque 5.

Rem : Si tu sais pas faire ça tu risques d'avoir dur pour la suite de
l'exo. C'est pas pour démoraliser ou quoique ce soit hein, mais bon...

--
Nico, au passage vérifie ton encodage:
Y'a un '?' que je sais pas ce qu'il fait là.

[Anonyme]

On Sat, 27 Dec 2003 11:07:25 +0300, "michel girard22"
wrote:

>Bonjour,
>Je suis totalement bloquée, pourriez me donner des indications pour
>commencer le probléme.
>Merci d'avance
>
>En voici l'énoncé
>I Vous avez vu que :
>Th : il existe une infinité de nombre premiers
>
>Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres de
>Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la suite.
>Fn= 2 ^(2n )+ 1 ( n ? 0)
>
>1. Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?
non, les nombres de Fermat sont 2^(2^n)+1
sinon Fermat n'aurait pas eu à "conjecturer" pour F5
2^(2*5)+1=1025
et
2^(2^5)+1=2^32+1=4294967297=(641*6700417 ; Euler 1732)
*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/

*****************