Divisibilité spé maths

[Anonyme]

Bonjour, j'ai une petite question .

Soit A = (5n -3)/(n+1)

Comment est ce que je pourrais determiner les valeurs de n, pour que A
appartienne à IN ???? (par le calcul bien evidemment ;O) )

Merci .

--
Thiago

[Anonyme]

Ghostux wrote:
> Soit A = (5n -3)/(n+1)
> Comment est ce que je pourrais determiner les valeurs de n, pour que A
> appartienne à IN ????

Tu cherckes n tel qu'il existe k dans N tel que 5n-3=k(n+1)
Soit (5-k)n=k+3
il faut donc que 5-k>0 soit k dans {0,1,2,3,4}
après tu vois tous les cas.

[Anonyme]

> > Soit A = (5n -3)/(n+1)[color=green]
> > Comment est ce que je pourrais determiner les valeurs de n, pour que A
> > appartienne à IN ????
>
> Tu cherckes n tel qu'il existe k dans N tel que 5n-3=k(n+1)
> Soit (5-k)n=k+3
> il faut donc que 5-k>0 soit k dans {0,1,2,3,4}
> après tu vois tous les cas.[/color]


Pas du tout: avec n=-2, on a A=-13/-1=13.
On a: 5n-3=A(n+1)
soit: 5(n+1)=A(n+1)+8
d'où (A-5)(n+1)=-8
Or n ne peut prendre que les valeurs -9,-5,-3,-2,0,1,3 ou 7, car n+1 divise
8.
On vérifie à la main que seuls -9,-5,-3,-2,1,3 et 7 marchent.

--
Maxi

[Anonyme]

"Ghostux" a écrit dans le message de news:
3f8e9a1c$0$28903$626a54ce@news.free.fr...
> Bonjour, j'ai une petite question .
>
> Soit A = (5n -3)/(n+1)
>
> Comment est ce que je pourrais determiner les valeurs de n, pour que A
> appartienne à IN ???? (par le calcul bien evidemment ;O) )


A = (5(n+1)-8) / (n+1) = 5 - 8 / (n+1)

n+1 doit donc être un diviseur de 8 : bien peu de cas à examiner.

Daniel

[Anonyme]

"Daniel" a écrit dans le message de news:
bmmcsm$cuo$1@news-reader5.wanadoo.fr...
>
> "Ghostux" a écrit dans le message de news:
> 3f8e9a1c$0$28903$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > Bonjour, j'ai une petite question .
> >
> > Soit A = (5n -3)/(n+1)
> ...
> n+1 doit donc être un diviseur de 8 : bien peu de cas à examiner.[/color]

(est ce que ca marche comme demonstration aussi ? )
On cherche :
n+1|5n -3
on sait que
n+1| n+1
donc n+1 | a(5n-3) + b(n+1)
notament pour a =1 et b = -5 , on a :
n+1 | 5n -3 -5(n+1)
n+1 | 5n -5n -3 -5
n+1 | -8
n+1 = 8
n= 7
n+1 = 4
n=3
n+1 = 2
n = 1
n+1 =1
n=0
n+1 = -1
n = -2
n+1 = -2
n= -3
n+1 =-4
n = -5
n+1 = -8
n = -9

Ahh ca y est la j'ai compris :O)

Merci beaucoup, je fais un tres gros devoir d'arithmetique, alors il se
peut que je repose des questions :p

--

Thiago

[Anonyme]

Maxi wrote:
> Pas du tout: avec n=-2, on a A=-13/-1=13.

j'étais parti sur la base de n dans N ...

[Anonyme]

> Ahh ca y est la j'ai compris :O)
>
> Merci beaucoup, je fais un tres gros devoir d'arithmetique, alors il se
> peut que je repose des questions :p

Eh oui ça marche aussi, mais attention: tu as montré que, si n convient, il
ne peut prendre que certaines valeurs. Maintenant il faut regarder
lesquelles conviennent effectivement, et on voit que 0 ne marche pas.

--
Maxi

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de news:
3f8ec774$0$2786$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > Ahh ca y est la j'ai compris :O)
> >
> > Merci beaucoup, je fais un tres gros devoir d'arithmetique, alors il se
> > peut que je repose des questions :p
>
> Eh oui ça marche aussi, mais attention: tu as montré que, si n convient,[/color]
il
> ne peut prendre que certaines valeurs. Maintenant il faut regarder
> lesquelles conviennent effectivement, et on voit que 0 ne marche pas.


Arf en effet -3 n'appartient pas a IN .

[Anonyme]

Bonsoir ,

Encore deux petites questions s'il vous plait .

1)
comment demontrer que (11-1)! +1 n'est pas divisible par 11 ???

Il y a une deuxieme question , etrangement independente :

On me demande : est ce que p divise (p-1)! +1 ????? pour p>= 2
J'ai dit que non car pour p = 4 , (4-1)! = 3! = 6 , (p-1)! +1 = 6+1 = 7
, 4 ne divise pas 7 , est ce qu'on contre exemple peut faire l'affaire, ou
faut il faire une demonstration plus générale ?

2)
La deuxieme question est un peu plus complexe je crois , c'est les bases.
a s'ecrit en base 2 :
__________
a = 1001001000

Comment est ce que je pourais determiner le reste de la division
euclidienne de a , par 7 ????

(par tatonement, et par un calcul un peu "batard" , qui conssistait a
convertir ca en decimal , et faire la simple division, et apres reconvertir
le resultat en binaire, je trouve 10 bin (3 dec) , mais je n'ai aucune idée
de comment on pourait faire ca directement ... si quelqu'un pouvait me dire
deux mots a ce sujet, ce serait bien . :O) )

Merci beaucoup

Thiago

[Anonyme]

>1)
> comment demontrer que (11-1)! +1 n'est pas divisible >par 11 ???

Il l'est!
La démonstration dépend de ton niveau, tu es au lycée ou aù-delà?

> On me demande : est ce que p divise (p-1)! +1 ????? pour p>= 2
> J'ai dit que non car pour p = 4 , (4-1)! = 3! = 6 , (p-1)! +1 = 6+1 =
7
> , 4 ne divise pas 7 , est ce qu'on contre exemple peut faire l'affaire, ou
> faut il faire une demonstration plus générale ?

Non, un contre-exemple suffit, puisqu'on te demande si telle propriété est
toujours vraie.

>2)
> La deuxieme question est un peu plus complexe je >crois , c'est les
bases.
> a s'ecrit en base 2 :
> __________
>a = 1001001000
>
> Comment est ce que je pourais determiner le reste de la >division
>euclidienne de a , par 7 ????

7 s'écrit 111 en base 2. Tu peux faire les divisions euclidienne de la même
manière en base 2 qu'en base 10.

--
Maxi

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de news:
3f8f02cd$0$2795$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> >1)
> > comment demontrer que (11-1)! +1 n'est pas divisible >par 11 ???
>
> Il l'est!
> La démonstration dépend de ton niveau, tu es au lycée ou aù-delà?
>[/color]
Je ne suis qu'au lycée. :O(

Je viens de demontrer précédemment que :

(n-1)! +1 , etait impair.
(n-1)! +1 n'etait pas divisible par un entier naturel pair , car (n-1)! +1
etait impair.
j'ai demontré que (15 -1 )! + 1 , n'etait pas divisible par 15 , car 14!
=c 0 [15] , car on a un moment 3*5 ... ,
donc 14! +1 =c 1 [15] , et donc 15 ne divise pas 14! + 1
Et la la question c'etait :
(11 - 1) ! + 1 est il divisible par 11 ?????
Je tournais en rond ...
Il l'est ?????????????? arf oui j'avais mal tapé le truc sur ma
calculatrice, oui il l'est ... je suis en TS, spé maths , donc niveau lycée
:O) , mais pas en obligatoire (mais lycée quand meme)


Merci

Thiago

[Anonyme]

> Je ne suis qu'au lycée. :O(

Alors je ne sais pas comment faire sans la calculatrice... Je cherche.

--
Maxi

[Anonyme]

Ah si je vois:

Les entiers de 1 à 10 sont respectivements congrus à 1,2,3,4,5,-5-,4-,3-2,-1
modulo 11. Ainsi, 10!+1 est congrus au produit de tout ça plus 1, c'est à
dire -(5!)^2+1.
Or 5!=120, donc 10!+1 est congrus à
-(120)²+1=-(11²-1)²+1
=-(11^4-2*11^2+1)+1
=un multiple de 11, qui est congru à 0 modulo 11.

--
Maxi

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de news:
3f8f0c05$0$2786$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > Je ne suis qu'au lycée. :O(
>
> Alors je ne sais pas comment faire sans la calculatrice... Je cherche.
>[/color]
Envoyez donc la methode "post-lycee" , je me ferais un plaisir d'essayer de
la dechiffrer et de la comprendre. Cela dit, si elle est longue, laissez
tomber, mais si elle est toute petite je veux bien voir a quoi cela
ressemble :O) .

Thi

[Anonyme]

> Envoyez donc la methode "post-lycee" , je me ferais un plaisir d'essayer
de
> la dechiffrer et de la comprendre. Cela dit, si elle est longue, laissez
> tomber, mais si elle est toute petite je veux bien voir a quoi cela
> ressemble :O) .

(on peut se tutoyer, j'y étais il n'y a pas si longtemps au lycée

Si je ne te l'ai pas donnée ce n'est pas qu'elle soit longue ou
particulièrement compliquée en elle-même, mais qu'elle fait appel à des
notions qui sont totalement inconnues au lycée...

Enfin, si tu veux voir à quoi ça ressemble, tu pourras toujours la mettre de
côté pour un jour prochain:
Théorème: un entier n>1 est premier si, et seulement si, n divise (n-1)!+1.
Sens facile: si n divise (n-1)!+1, n est premier. En effet, soit d un
diviseur positif de n distinct de n. d divise n qui divise (n-1)!+1, donc d
divise (n-1)!+1. Or d divise (n-1)!+1 (car 00 et <n de n est 1,
donc n est premier.
Sens dur: soit n premier. On note [k] la classe de k modulo n. Le groupe
(Z/nZ)* est d'ordre n-1, donc tous ses éléments sont racines de X^(n-1)-1.
Or ce polynôme est de degré n-1, donc il est le produit des (X-[i]). Le
terme constant est (-1)^(n-1)[(n-1)!], qui vaut donc -1. Si n est impair, on
a alors [(n-1)!+1]=0, c'est à dire n divise (n-1)!+1. Si n=2, on a bien 2
divise (2-1)!+1, d'où le résultat.

Je vais réfléchir à comment l'exprimer de manière compréhensible en
terminale, mais pas ce soir, je suis fatigué
Mais ne te prends pas la tête dessus, il te manques trop de définitions,
désolé, mais c'est toi qui l'a voulue...

Sinon, ce résultat n'est d'aucun intérêt pour montrer qu'un nombre n est
premier, car il faut calculer (n-1)!+1 puis diviser par n, ce qui prend un
temps énorme.

--
Maxi

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de news:
3f8f0d2a$0$2785$626a54ce@news.free.fr...
> Ah si je vois:
>
> Les entiers de 1 à 10 sont respectivements congrus à
1,2,3,4,5,-5-,4-,3-2,-1
> modulo 11. Ainsi, 10!+1 est congrus au produit de tout ça plus 1, c'est à
> dire -(5!)^2+1.
> Or 5!=120, donc 10!+1 est congrus à
1> -(120)²+1=-(11²-1)²+1
2> =-(11^4-2*11^2+1)+1
> =un multiple de 11, qui est congru à 0 modulo 11.
>
Ahhh okii , ah ouais bien vu , mais je peux dire ca aussi non? : (parce
que la ligne que j'ai nomé 1 et 2, je les trouve compliqués )

10! +1 = -(5!)^2 + 1 = -(120)^2 +1 .

120 =c 10 [11] ( car 11*10 + 10 = 110 + 10 = 120)
120 =c - 1 [11]
120^2 =c 1 [11]
-120 ^2 =c -1 [11]
-120^2 +1 =c 0 [11]
-(5!)^2 +1 =c 0 [11]
10! + 1 =c 0 [11]

Merci beaucoup en tout cas, je vais finalement pouvoir terminer mon devoir.

Thiago

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de news:
3f8f1113$0$2805$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > Envoyez donc la methode "post-lycee" , je me ferais un plaisir[/color]
d'essayer
> de[color=green]
> > la dechiffrer et de la comprendre. Cela dit, si elle est longue, laissez
> > tomber, mais si elle est toute petite je veux bien voir a quoi cela
> > ressemble :O) .
>
> (on peut se tutoyer, j'y étais il n'y a pas si longtemps au lycée [/color]

;O) , comment aurais je pu le deviner (?) :p


> Théorème: un entier n>1 est premier si, et seulement si, n divise
(n-1)!+1.
> Sens facile: si n divise (n-1)!+1, n est premier. En effet, soit d un
> diviseur positif de n distinct de n. d divise n qui divise (n-1)!+1, donc
d
> divise (n-1)!+1. Or d divise (n-1)!+1 (car 0 [(n-1)!+1]-(n-1)!=1, donc d=1. Ainsi le seul diviseur >0 et donc n est premier.

En fait je ne crois pas que ce sens soit totalement inconnu, parce qu'on le
demontre dans un exercice du livre, on trouve que D , diviseur commun aux
deux, est forcement 1. Mais j'etais loin de me douter que le resultat de ce
petit exercice etait une propriété généralisée.

> Sens dur: soit n premier. On note [k] la classe de k modulo n. Le groupe
> (Z/nZ)* est d'ordre n-1, donc tous ses éléments sont racines de X^(n-1)-1.

euh .. ca me dit quelque chose ... X^(n-1)-1 ... je crois avoir vu ca
trainer dans mon cours des congruences et les nombres premiers, pour le
petit théoreme de fermat. enfin un truc dans le genre. si n premier, on a
X^(n-1) -1 =c 0 [n] , puis ici meme, dans un autre post, on m'a expliqué que
si n premier, alors X^(n-1) - 1 = X^(phi(n)) -1 =c 0 [n] ,(donc
n|X^(n-1) - 1 ) mais ca ne me dit pas plus que ca .
Pour les groupes, j'ai lu un "que sais je" sur les structures monoides et
les spaces vectoriels, enfin il assomait un peu sur les bords, je l'ai pris
par curiosité.

> Or ce polynôme est de degré n-1, donc il est le produit des (X-[i]). Le
> terme constant est (-1)^(n-1)[(n-1)!], qui vaut donc -1. Si n est impair,
on
> a alors [(n-1)!+1]=0, c'est à dire n divise (n-1)!+1. Si n=2, on a bien 2
> divise (2-1)!+1, d'où le résultat.

Bon alors la ... :O) , c'est la partie que je garderai pour apres ;O)

>
> Sinon, ce résultat n'est d'aucun intérêt pour montrer qu'un nombre n est
> premier, car il faut calculer (n-1)!+1 puis diviser par n, ce qui prend un
> temps énorme.

Je l'admets :O)

Merci beaucoup de ton aide, c'etait tres bien, grace a ca , j'ai pu finir
mon devoir, et je vais me coucher moins con que la nuit derniere, pourvu que
ca dure ... ^__^


--
Thiago

[Anonyme]

> Ahhh okii , ah ouais bien vu , mais je peux dire ca aussi non? : (parce
> que la ligne que j'ai nomé 1 et 2, je les trouve compliqués )
>
> 10! +1 = -(5!)^2 + 1 = -(120)^2 +1 .
>
> 120 =c 10 [11] ( car 11*10 + 10 = 110 + 10 = 120)
> 120 =c - 1 [11]
> 120^2 =c 1 [11]
> -120 ^2 =c -1 [11]
> -120^2 +1 =c 0 [11]
> -(5!)^2 +1 =c 0 [11]
> 10! + 1 =c 0 [11]


Tout à fait!

--
Maxi

[Anonyme]

Bon, je te la refais avex les connaissances de terminale. Comme je suis
sadique, je te le donne sous forme d'exo:-)

Soit p un nombre premier.
Dans la suite, entier=entier relatif.

1) Soit P un polynôme à coefficients entiers et a un entier. Montrer qu'il
existe un polynôme à coefficients entiers Q et un entier b tels que
P(x)=(x-a)*Q(x)+b

2) Soit a un entier. Montrer que a^p=a [p].
Montrer que, si p ne divise pas a, a^(p-1)=1[p].

3) Soit P(x)=x^(p-1)-1.
Montrer qu'il existe un polynôme à coefficients entiers Q, dont tous les
coefficients sont des multiples de p, tel que
P(x)=(x-1)...(x-(p-1))+Q(x).

4) En déduire que p divise (p-1)!+1.

N'hésite pas à me demander si tu cales! (je ne me rends pas trop compte de
la difficulté...)

--
Maxi

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de news:
3f8f1e9d$0$2771$626a54ce@news.free.fr...
> Bon, je te la refais avex les connaissances de terminale. Comme je suis
> sadique, je te le donne sous forme d'exo:-)

Génial, je ferai ca pour demain (la je dois aller dormir, tres fatigué moi)

> N'hésite pas à me demander si tu cales! (je ne me rends pas trop compte de
> la difficulté...)
>
Je n'hesiterai donc pas. (c'est mieux que Disneyland ici :OD )

--
Thiago

PS : j'espere qu'on ne va pas se faire engueuler pour avoir beaucoup parlé
:O)