Urgent DM de spé pour demain juste une question

[Anonyme]

Bonjour,
tout d'abord merci pour votre aide..
Mais pourriez vous mettre quelques explications en plus car la pauvre élève
de terminale S que je suis ne comprends pas tout. Surtout pour la
questions 4 ...
Merci d'avance


Marc Pichereau a écrit dans le
message : 400d7470.8883171@news.wanadoo.fr...
>
> On Tue, 20 Jan 2004 20:31:09 +0300, "michel girard22"
> wrote:
>[color=green]
> >Bonjour,
> >
> >J ai fais les deux premières parties
>
> >Pourriez vous m aider à résoudre les parties III et IV du problème;
> >Merci d avance
> urgent, urgent ? pourtant a déjà été posté le 27 décembre , mais bon
> le sujet m'a intéressé ........
> >Voici le sujet...
> >
> >
> >I Vous avez vu que :
> >Th : il existe une infinité de nombre premiers
> >
> >Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres de
> >Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la suite.
> >Fn= 2 ^2^n + 1 (n plus grand ou égal à 0)
> >
> >1 Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?
> >2 Démontrer, par récurrence, que :
> >pour tout entier non nul, Fn -2 = F0 F1 jusqu a F M-1
> >3 Montrer que , pour m différent den, pgcd (Fm, Fn) = 1
> >4 En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers (Soyez
> >rigoureux )
> >
> >II Une conjecture de Fermat :
> >1 Que peut on dire de F0, F1, F2 et F3 ?
> >2 Allez un peu de courage A vos calculatrices ( Fermat n en avait pas)
> >Que peut on dire de F4 ? Expliquer votre travail
> >3 Et pour F5 ? Et les suivants ?
> >Quelle fut, à votre avis, la conjecture de Fermat ?
> >Qu en pensez vous ?
> >
> >III Un théorème d Euler
> >TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres[/color]
premiers[color=green]
> >de la forme : 2 ^(M+1) n + 1, n étant un entier naturel.
> lire m et non M : cette erreur d'énoncé n'était pas dans le postage du
> 27 décembre!
> >Evidemment, nous allons le démontrer !
> >
> >Soit p un diviseur de Fm= 2^ 2^m + 1
> >1 Soit E ={ k élément de N */ 2 ^k congrus à 1[p] }
> >a. Pourquoi E est il non vide ?
> il contient p-1 (Fermat)
> >b. on en déduit que E admet un plus petit élément d
> >c. on cherche à montrer que tout élément de E est un multiple de d
> >Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d
> >En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la
> >division euclidienne précédente est nul.
> sinon il serait dans E et serait >d. En déduire qu il existe un entier n tel que : p - 1= d n[/color]
> on vient de voir que p-1 est dans E
> >2 a . quoi est congru 2^2^m modulo p ?
> 2^(2^m) congru à -1
> >d divise t-il 2^m ?
> non sinon 2^(2^m) congru à 1
> >b. quoi est congru 2^2^ m+1 modulo p ? ( indication : on pourra calculer
> >(2^2^m)^2 et utiliser la question précédente )
> là on donne la réponse puisque (2^(2^m))^2=2^(2^(m+1))
> et donc il congru à -1 au carré
> >d divise t il 2^ m+1 ?
> ben oui , à condition d'écrire correctement la question ,cf 1d
> >c. En déduire d
> il divise 2^(m+1) et pas 2^m , donc d=2^(m+1)
> >3. déduire de 1. d. et de 2. c. qu il existe au moins un entier premier[/color]
de[color=green]
> >la forme désirée
> comme p-1=d*n , p répond à la question
> cad on vient de démontrer que tout nombre 1er diviseur de F_m s'écrit
> 2^(m+1)*n+1 , n entier naturel non nul
> >4. En déduire qu il en existe une infinité (c est très facile mais je[/color]
vous[color=green]
> >aide : « tout nombre s écrivant de la forme 2^ (m+1+k) h+1 est aussi de[/color]
la[color=green]
> >forme ... )
> tu exploites la rem précédente
> >5. quelques conséquences (expliquer rapidement )
> >a .il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!
> >b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1
> >c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 ...
> si m>=3, 8 divise 2^m
> >IV Un cas particulier, très intéressant m=5
> >
> >Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n était pas sur que F5[/color]
était[color=green]
> >premier.
> >Alors, d après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers[/color]
possibles.[color=green]
> >1. De quelles formes sont-ils ?
> 2^6*n+1
> >2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )
> >3. F5 est il ou n est il pas ?
> >4. Vérifier que l autre facteur est bien de la forme attendue[/color]

[Anonyme]

"michel girard22" a écrit dans le message de
news:buovvt$a2v$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Bonjour,
> tout d'abord merci pour votre aide..
> Mais pourriez vous mettre quelques explications en plus car la pauvre
élève
> de terminale S que je suis ne comprends pas tout. Surtout pour la
> questions 4 ...
> Merci d'avance

Donc la question 4 : on a montré que pgcd (Fm, Fn) = 1 pour m =! n ça veut
donc dire que Fm a (par exemple si on prend m > n) un diviseur premier que
Fn n'a pas or l'ensemble des Fk est infini d'ou le résultat.


>
>
> Marc Pichereau a écrit dans le
> message : 400d7470.8883171@news.wanadoo.fr...[color=green]
> >
> > On Tue, 20 Jan 2004 20:31:09 +0300, "michel girard22"
> > wrote:
> >[color=darkred]
> > >Bonjour,
> > >
> > >J ai fais les deux premières parties
> >
> > >Pourriez vous m aider à résoudre les parties III et IV du problème;
> > >Merci d avance
> > urgent, urgent ? pourtant a déjà été posté le 27 décembre , mais bon
> > le sujet m'a intéressé ........
> > >Voici le sujet...
> > >
> > >
> > >I Vous avez vu que :
> > >Th : il existe une infinité de nombre premiers
> > >
> > >Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres[/color][/color]
de[color=green][color=darkred]
> > >Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la suite.
> > >Fn= 2 ^2^n + 1 (n plus grand ou égal à 0)
> > >
> > >1 Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?
> > >2 Démontrer, par récurrence, que :
> > >pour tout entier non nul, Fn -2 = F0 F1 jusqu a F M-1
> > >3 Montrer que , pour m différent den, pgcd (Fm, Fn) = 1
> > >4 En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers (Soyez
> > >rigoureux )
> > >
> > >II Une conjecture de Fermat :
> > >1 Que peut on dire de F0, F1, F2 et F3 ?
> > >2 Allez un peu de courage A vos calculatrices ( Fermat n en avait pas)
> > >Que peut on dire de F4 ? Expliquer votre travail
> > >3 Et pour F5 ? Et les suivants ?
> > >Quelle fut, à votre avis, la conjecture de Fermat ?
> > >Qu en pensez vous ?
> > >
> > >III Un théorème d Euler
> > >TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres[/color]
> premiers[color=darkred]
> > >de la forme : 2 ^(M+1) n + 1, n étant un entier naturel.
> > lire m et non M : cette erreur d'énoncé n'était pas dans le postage du
> > 27 décembre!
> > >Evidemment, nous allons le démontrer !
> > >
> > >Soit p un diviseur de Fm= 2^ 2^m + 1
> > >1 Soit E ={ k élément de N */ 2 ^k congrus à 1[p] }
> > >a. Pourquoi E est il non vide ?
> > il contient p-1 (Fermat)
> > >b. on en déduit que E admet un plus petit élément d
> > >c. on cherche à montrer que tout élément de E est un multiple de d
> > >Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d
> > >En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la
> > >division euclidienne précédente est nul.
> > sinon il serait dans E et serait > >d. En déduire qu il existe un entier n tel que : p - 1= d n[/color]
> > on vient de voir que p-1 est dans E
> > >2 a . quoi est congru 2^2^m modulo p ?
> > 2^(2^m) congru à -1
> > >d divise t-il 2^m ?
> > non sinon 2^(2^m) congru à 1
> > >b. quoi est congru 2^2^ m+1 modulo p ? ( indication : on pourra[/color][/color]
calculer[color=green][color=darkred]
> > >(2^2^m)^2 et utiliser la question précédente )
> > là on donne la réponse puisque (2^(2^m))^2=2^(2^(m+1))
> > et donc il congru à -1 au carré
> > >d divise t il 2^ m+1 ?
> > ben oui , à condition d'écrire correctement la question ,cf 1d
> > >c. En déduire d
> > il divise 2^(m+1) et pas 2^m , donc d=2^(m+1)
> > >3. déduire de 1. d. et de 2. c. qu il existe au moins un entier premier[/color]
> de[color=darkred]
> > >la forme désirée
> > comme p-1=d*n , p répond à la question
> > cad on vient de démontrer que tout nombre 1er diviseur de F_m s'écrit
> > 2^(m+1)*n+1 , n entier naturel non nul
> > >4. En déduire qu il en existe une infinité (c est très facile mais je[/color]
> vous[color=darkred]
> > >aide : « tout nombre s écrivant de la forme 2^ (m+1+k) h+1 est aussi de[/color]
> la[color=darkred]
> > >forme ... )
> > tu exploites la rem précédente
> > >5. quelques conséquences (expliquer rapidement )
> > >a .il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!
> > >b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1
> > >c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 ...
> > si m>=3, 8 divise 2^m
> > >IV Un cas particulier, très intéressant m=5
> > >
> > >Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n était pas sur que F5[/color]
> était[color=darkred]
> > >premier.
> > >Alors, d après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers[/color]
> possibles.[color=darkred]
> > >1. De quelles formes sont-ils ?
> > 2^6*n+1
> > >2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )
> > >3. F5 est il ou n est il pas ?
> > >4. Vérifier que l autre facteur est bien de la forme attendue[/color]
>
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