Géométrie [4ème]

[Anonyme]

Bonjour à toutes et à tous,

J'essaye de mettre au point pour ma petite soeur une méthode simple destinée à résoudre le
genre de problème suivant :

Soit : un couloir, qui forme un angle droit, chacun des deux boyaux du couloir n'ayant pas
forcément la même largeur (par ex. : avant le coude, le couloir fait "m" mètres de large
et après le coude, il fait "n" mètres de large, comme ceci :
.. . . . . . . . . . .
..
.. n
..
.. . . . . . . . . .
.. .
.. .
.. .
.. .
.. m .

et la question qui va avec :

"Puis-je tourner dans ce couloir avec une poutre de longueur "L" (imaginons-la sans
largeur ni hauteur) tout en la maintenant horizontale ?"

Après réflexion, il me semble que la poutre pourra passer le coude si sa longueur "L" est
inférieure ou égale à sqrt ([2*m]^2 + [2*n]^2) (ce qui rentrerait plutôt bien dans le
cadre du chapitre duquel le problème est tiré, à savoir le théorème de Pythagore).

Mais ai-je raison ?

Ma soeur n'a pas dû résoudre ce genre de problème en classe, mais vu qu'il est dans son
bouquin de maths, elle a peur de l'avoir à l'examen.

Merci d'avance de nous aider.

Gibbs.

[Anonyme]

Dans le message news:42920c95$0$16298$ba620e4c@news.skynet.be,
Gibbs a écrit:
> Bonjour à toutes et à tous,
>
> J'essaye de mettre au point pour ma petite soeur une méthode simple
> destinée à résoudre le genre de problème suivant :
>
> Soit : un couloir, qui forme un angle droit, chacun des deux boyaux
> du couloir n'ayant pas forcément la même largeur (par ex. : avant le
> coude, le couloir fait "m" mètres de large et après le coude, il fait
> "n" mètres de large, comme ceci : . . . . . . . . .
> . . .
> . n
> .
> . . . . . . . . . .
> . .
> . .
> . .
> . .
> . m .
>
> et la question qui va avec :
>
> "Puis-je tourner dans ce couloir avec une poutre de longueur "L"
> (imaginons-la sans largeur ni hauteur) tout en la maintenant
> horizontale ?"
>
> Après réflexion, il me semble que la poutre pourra passer le coude si
> sa longueur "L" est inférieure ou égale à sqrt ([2*m]^2 + [2*n]^2)
> (ce qui rentrerait plutôt bien dans le cadre du chapitre duquel le
> problème est tiré, à savoir le théorème de Pythagore).
>
> Mais ai-je raison ?
>
> Ma soeur n'a pas dû résoudre ce genre de problème en classe, mais vu
> qu'il est dans son bouquin de maths, elle a peur de l'avoir à
> l'examen.

Non, votre solution n'est pas la bonne. Constatez qu'elle donnerait L=2n
pour m=0, au lieu de L=n.
En appelant a l'angle que fait la poutre avec l'horizontale du dessin,
dans la position critique, a est donné par (tan a)^3 = n/m (et non tan a
= n/m). Ce qui donne comme longueur L une expression assez compliquée.
Et je ne vois pas du tout comment trouver ça en 4e.

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

J'ai un livre d'analyse numérique où ce problème est exposé. Il
parait que c'est un classique. La solution donnée est qu'il faut
trouver la valeur de C dans:

m*cos(pi-a-C)/sin^2(pi-a-C) - n*cos(C)/sin^2(C) = 0

où 'a' est l'angle que fait le coude (donc pi/2 radians dans
l'exemple). C'est une équation transcendante alors il faut utiliser
une méthode numérique.

Ensuite on calcule la longueur maximale L par:

L=m/sin(pi-a-C) + n/sin(C)

(On suppose que la poutre a une épaisseur négligeable et qu'elle est
rigide.)

[Anonyme]

Gibbs wrote:
> Bonjour à toutes et à tous,
>
> J'essaye de mettre au point pour ma petite soeur une méthode simple destinée à résoudre le
> genre de problème suivant :
>
> Soit : un couloir, qui forme un angle droit, chacun des deux boyaux du couloir n'ayant pas
> forcément la même largeur (par ex. : avant le coude, le couloir fait "m" mètres de large
> et après le coude, il fait "n" mètres de large, comme ceci :
> . . . . . . . . . . .
> .
> . n
> .
> . . . . . . . . . .
> . .
> . .
> . .
> . .
> . m .
>
> et la question qui va avec :
>
> "Puis-je tourner dans ce couloir avec une poutre de longueur "L" (imaginons-la sans
> largeur ni hauteur) tout en la maintenant horizontale ?"
>
> Après réflexion, il me semble que la poutre pourra passer le coude si sa longueur "L" est
> inférieure ou égale à sqrt ([2*m]^2 + [2*n]^2) (ce qui rentrerait plutôt bien dans le
> cadre du chapitre duquel le problème est tiré, à savoir le théorème de Pythagore).
>
> Mais ai-je raison ?
>
> Ma soeur n'a pas dû résoudre ce genre de problème en classe, mais vu qu'il est dans son
> bouquin de maths, elle a peur de l'avoir à l'examen.
>
> Merci d'avance de nous aider.
>
> Gibbs.

Elémentaire mon cher Watson, mais c'est du programme de 1ère, et non
de 4e.
Soit a l'angle de la poutre avec le couloir m.
L = m/sin a + n/cos a.
On dérive L par rapport à a, pour obtenir son minimum.
Il vient l'équation : a = Arctan (racine 3e de (m/n)).
Il n'y a plus qu'à reporter.

--
La science se distingue de tous les autres modes de transmission des
connaissances, par une croyance de base : nous croyons que les experts
sont faillibles, que les connaissances transmises peuvent contenir
toutes sortes de fables et d’erreurs, et qu’il faut prendre la
peine de vérifier, par des expériences.
-- Jacques Lavau (retirer les anti et les spam pour le courriel)
http://lavaujac.club.fr

[Anonyme]

bonjour gibbs

peut-etre que ceci serait utile:

http://www.geocities.com/sean_mcilroy

peace
sean

[Anonyme]

Gibbs a écrit :
> Ma soeur n'a pas dû résoudre ce genre de problème en classe, mais vu qu'il est dans son
> bouquin de maths, elle a peur de l'avoir à l'examen.

Juste une minuscule intervention pour faire remarquer que [4eme] se
réfère sans doute au système belge. Cela correspond grosso modo à la 2e
en france.

--
Nico.

[Anonyme]

Dans l'article ,
Jacques Lavau a écrit:

> Gibbs wrote:[color=green]
> > ....
> > Soit : un couloir, qui forme un angle droit, chacun des deux boyaux du
> > couloir n'ayant pas
> > forcément la même largeur (par ex. : avant le coude, le couloir fait "m"
> > mètres de large
> > et après le coude, il fait "n" mètres de large, comme ceci :
> > . . . . . . . . . . .
> > .
> > . n
> > .
> > . . . . . . . . . .
> > . .
> > . .
> > . .
> > . .
> > . m .
> >
> > et la question qui va avec :
> >
> > "Puis-je tourner dans ce couloir avec une poutre de longueur "L"
> > (imaginons-la sans
> > largeur ni hauteur) tout en la maintenant horizontale ?"....
> ....
> Soit a l'angle de la poutre avec le couloir m.
> L = m/sin a + n/cos a.[/color]

L On dérive L[/color]

On dérive m/sin a + n/cos a

> par rapport à a, pour obtenir son minimum.
> Il vient l'équation : a = Arctan (racine 3e de (m/n)).
> Il n'y a plus qu'à reporter

et à simplifier:

au maximum L = (m^(2/3) + n^(2/3))^(3/2).


Ken Pledger.

[Anonyme]

Ken Pledger wrote:
> Dans l'article ,
> Jacques Lavau a écrit:
>
>[color=green]
>>Gibbs wrote:
>>[color=darkred]
>>>....
>>>Soit : un couloir, qui forme un angle droit, chacun des deux boyaux du
>>>couloir n'ayant pas
>>>forcément la même largeur (par ex. : avant le coude, le couloir fait "m"
>>>mètres de large
>>>et après le coude, il fait "n" mètres de large, comme ceci :
>>>. . . . . . . . . . .
>>>.
>>>. n
>>>.
>>>. . . . . . . . . .
>>>. .
>>>. .
>>>. .
>>>. .
>>>. m .
>>>
>>>et la question qui va avec :
>>>
>>>"Puis-je tourner dans ce couloir avec une poutre de longueur "L"
>>>(imaginons-la sans
>>>largeur ni hauteur) tout en la maintenant horizontale ?"....
>>
>>....
>>Soit a l'angle de la poutre avec le couloir m.
>>L = m/sin a + n/cos a.[/color]
>
>
> L
>
>>On dérive L
>
>
> On dérive m/sin a + n/cos a
>
>
>>par rapport à a, pour obtenir son minimum.
>>Il vient l'équation : a = Arctan (racine 3e de (m/n)).
>>Il n'y a plus qu'à reporter
>
>
> et à simplifier:
>
> au maximum L = (m^(2/3) + n^(2/3))^(3/2).
>
>
> Ken Pledger.[/color]

Une remarque en passant :

Considérons l'enveloppe des segments de longueur a avec les
extrémités glissant le long des murs extérieurs.
On obtient l'astroïde d'équation
(x^(2/3) + y^(2/3))^(3/2) = a

En fait on s'intéresse à la famille d'astroïdes en fonction de a.
La plus grande possible est celle passant par (m,n) et donc son
paramètre a = L = (m^(2/3) + n^(2/3))^(3/2)

Si m = n, le point est au milieu de l'arc d'astroïde et sa tangente
est à 45°

--
philippe
chephip at free dot fr