[4ème] : propriété dans un triangle équilatéral

[Anonyme]

Démontrer que si M est un point intérieur à un triangle équilatéral ABC, la
somme des distances de M aux trois côtés du triangle est égale à la longueur
de la médiane.

Indication : on doit exprimer de deux façons l'aire du triangle ABC.

J'arrive à faire la démonstration avec une méthode analytique (repère +
distance d'un point à une droite)

Je n' y arrive pas avec un calcul d'aire.

Toute aide est la binevenue.
Merci d'avance.

[Anonyme]

> Démontrer que si M est un point intérieur à un triangle équilatéral ABC,
la
> somme des distances de M aux trois côtés du triangle est égale à la
longueur
> de la médiane.
>
> Indication : on doit exprimer de deux façons l'aire du triangle ABC.


Appellons l la longueur des côtés du triangle et h la longueur de ses
médianes, qui sont aussi des hauteurs (tringle équilatéral).
On a une formule pour l'aire: base*hauteur/2, ce qui donne ici h*l/4.
Appelons a, b et c les distances de M aux côtés.

D'autre part, trace sur un dessin les segments joignants M à chacun des
sommets. Tu vois apparaître trois triangles de hauteurs respectivent a, b et
c (par définition) et de base l. Calcule leurs aires et additionne, et tu
trouveras l'aire totale.

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Maxi