Démonstration par récurrence

[flowzen]

Bonjour,

voilà l'énoncé de l'exercice:
A l'aide d'un raisonnment par récurrence, montrer que pour tout n de IN, les nombres entiers: 3^(2n) - 2^(n) et 3^(2n+1) + 2(n+2) sont divisible par 7.


Mon travail :
J'ai commencé par étudier 3^(2n) - 2^(n) = ... (apres reformulation)
= (7k + 2^n)*3^2 + (7k-3^2n)*2.
= 7k*9 + 2n*9 +14k -2*3^2n
= 7k(16) + 2(2^n-1 * 9 - 3^2n)

Actuellement , le (9*2^n - 2*3^2n) me dérange et je ne sais pas comment prouver que ce terme là est un multiple de 7 ! :doh:
En tout cas , merci énormément d'avance pour votre aide !
A bientot !

[math*]

Je n'ai pas tout compris à ce que tu as écrit (ce n'est pas très lisible, et pis moi à cette heure ci.. :dodo: :ptdr: ), donc, après avoir initialiser pour n=0 :
On suppose la propriété vraie au rang n et on va montrer qu'elle est vraie au rang n+1 :

Ce qui, en factorisant par 7, nous donne bien une expression de la forme 7K.
On a donc montré que la propriété est vraie au rang et que si elle est vraie au rang n, alors elle est vraie au rang n+1.
Donc la propriété est vraie