Encore des polynômes..

par **kkk** » 13 Jan 2007, 22:25

Bonjour, j'ai quelques soucis pour cet exercice :
On définit une suite de polynômes de la façon suivante :
Po=1
P1=2X
Pour n entier naturel, Pn+2=(X-1)Pn+1-X^2Pn

1- Calculer P2, P3,P4,P5
==> Pas trop dur, ça je l'ai fait
2- Montrer que pour tout n entier naturel deg(Pn) =< n
==> Fait aussi.

c) Soit an, le coefficient de rang n de Pn
Déterminer une relation de récurrence, linéaire vérifiée par la suite (an)
==> Comment faire ?, car j'obtiens, a0=1, a1=2, a2=1, a3=-1, a4=-2, a5=-1, ... ça me parait totalement aléatoire !

Merci de votre aide,
louise

par **abcd22** » 13 Jan 2007, 23:14

Bonsoir,
Il suffit d'utiliser la relation de récurrence :

, d'où peuvent venir les termes en

sachant que

est de degré

pour tout n ?

par **fahr451** » 13 Jan 2007, 23:15

a(n+2) = a(n+1) -a(n)

en considérant les termes de plus haut degré ds ta relation qui définit la suite de polynômes

c'est une suite récurrente linéaire d 'ordre 2 à coeffs constants équation caractéristique ...

par **kkk** » 14 Jan 2007, 00:37

argh..je ne comprends pas comment arriver à cette fameuse relation..j'essaie avec les coefficients mais je ne parviens pas à identifier correctement..je dois me tromper qqpart

par **surf-555** » 14 Jan 2007, 00:41

regardes les coefficiants que t'as calculé la relation est directement visible il ne te reste plus qu'a extraire an a l'aide des suites récurrentes...

par **kkk** » 14 Jan 2007, 00:47

ok, j'ai compris..pourriez-vous mes rappeler comment exprimer an..je n'ai pas ramener mes anciens cours sur ça et j'ai un peu oublié..

par **nuage** » 14 Jan 2007, 00:50

Salut,
tu écris

alors

[edit] je suis un peu trop lent.

par **kkk** » 14 Jan 2007, 17:19

ok !
j'ai maintenant montré que an=2cos((n-1)pi/3)
Comment puis-je en déduire le degré et le coefficient dominant de Pn ?

par **fahr451** » 14 Jan 2007, 17:21

hum

le degré est n et a(n) est le coeff dominant

par **kkk** » 14 Jan 2007, 18:50

je ne vois pas comment on en déduit cela..pourriez-vous m'expliquer ?

par **fahr451** » 14 Jan 2007, 18:53

on a Pn de degré inférieur ou égal à n ( vu au début)

le terme en X^n est a(n) X^n donc QUAND a(n) est NON NUL

le degré de Pn est n et son coeff dominant par définition est a(n) mais il y a des valeurs de n qui donnent a(n) = 0 pour celles ci le degré est inférieur strictement à n ( si ton calcul de a(n) est correct).

par **fahr451** » 14 Jan 2007, 19:07

j 'aimerais bien savoir comment tu as trouvé a(n) ...

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