Limite d’une suite

[Sara1999]

Bonjour ,
Il s’agit de prouver que lim (u_n^3)/n^2= 9/4.
(u_n) étant la suite définie par :

u_0>0
u_(n+1)= u_(n) +( 1/ sqrt( u_n) )

J’ai essayé de considérer la fonction
f(x)= x+ 1/ sqrt(x) mais cela ne m’a pas fait avancer .
Merci pour votre guidance.

[phyelec]

bonjour,

remarquer que

[Sara1999]

Excusez-moi, mais je ne vois pas comment obtenir ces égalités.

[Sara1999]

Vous voulez dire des suites équivalentes ??

[phyelec]

Il n' y as d'équivalence, je suis partie de votre écrit (u_n^3)/n^2= 9/4 que j'ai écrit en Latex et j'ai fait les étapes décrites dans mon poste.
rappel :
je vous redonne le calcul.

[Sara1999]

Pardon, mais je crois que vous n’avez pas repéré le symbole de limite : lim dans mon énoncé.

[phyelec]

exacte,je n'ai pas mis le symbole limite, je pensais que vous sauriez le faire vous même. En fait je ne vous ai pas fait l'exercice,je vous ai juste donné une information qui pourrait vous aider.

[phyelec]

êtes vous sur de votre énoncé? notamment :
u_0>0
u_(n+1)= u_(n) +( 1/ sqrt( u_n) )

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Je ne vois pas ce que l'énoncé aurait de douteux, et en passant l'écriture ne fait pas sens. Ce qui fait sens, c'est de dire qu'il y a à montrer que est équivalent à quand .
On peut remarquer que le relation de récurrence peut être récrite comme . Cela fait penser à l'équadiff , qui se résout facilement puisqu'elle est à variables séparables. Après, ce rapprochement n'est pas évident à exploiter ....

[ComeDuRondeau]

Bonjour ,
Il s’agit de prouver que lim (u_n^3)/n^2= 9/4.
(u_n) étant la suite définie par :

u_0>0
u_(n+1)= u_(n) +( 1/ sqrt( u_n) )

J’ai essayé de considérer la fonction
f(x)= x+ 1/ sqrt(x) mais cela ne m’a pas fait avancer .
Merci pour votre guidance.

J'aurais plutôt tendance à exploiter la fonction pour qu'on arrive à nos fins. Puisque l'intervalle est stable par on a déjà que donc bien définie et à valeurs strictement positives. Ensuite puisque est croissante elle admet une limite (finie ou infinie). Si elle est finie elle doit satisfaire qui n'a pas de solution donc Enfin on peut essayer de déterminer tel que tend vers une limite finie non nulle (penser à utiliser les développements limités) et on obtient alors l'équivalent par télescopage et sommation des relations de comparaison.

C'est sûrement moins efficace que ce que Gabuzomeu suggère mais c'est peut-être plus classique comme démarche.

[Sara1999]

Merci GaBuZoMeu et ComeDuRondeau.
J’ai pu arriver au résultat grâce à votre indication.
Alpha est 3/2 et la limite de u_(n+1) ^3/2 -u_(n)^3/2 est égale à 3/2 . Seulement j’ai utilisé des encadrements faisant intervenir l’inégalité de Bernoulli au lieu du DL.
Maintenant je serais curieuse de connaitre une méthode non classique. Cela pourrait élargir mon savoir. Merci d’avance.