MATHS EXPERTES : Question matrices carrées

[ANTHONYP]

Bonjour, ça fait depuis hier que j'essaye de faire cet exercice et je n'y arrive pas, est-ce que l'on pourrait m'aider svp :
Déterminer les matrices carrées de taille 2 telles que : A^2 = A
Je trouve que trouver ces matrices équivaut à résoudre le système :

-a^2+a = bc
b(a+d-1)=0
c(a+d-1)=0
-d^2 +d = 0

Alors là, je pense qu'il y a quatre cas possibles, soit b est nul ou c est nul ou a + d -1 = 0,
J'arrive à trouver des matrices pour si b est nul mais c'est vraiment pour si a+d-1=0 que je bloque.

[Ben314]

Salut,
Il y a une erreur dans ta dernière équation qui devrait être .
Et sinon, tu as deux cas de figure :
- Soit et tu as forcément et il te reste donc et sont égaux à 0 ou 1 -> 4 solutions "spéciales".
- Soit et te reste . Sauf que donc en fait il te reste seulement l'équation pour déterminer (vu que lui, sera forcément égal à ) ce qui signifie qu'il y a une infinité de solutions.
Tu peut éventuellement paramétrer ces solutions en disant que
- Soit on prend , ou et quelconque.
- Soit on prend , quelconque et

Et sinon, une fois que tu aura un peu plus de bagage en algèbre linéaire, tu verra qu'il y a d'autre façon bien plus simple et rapide de caractériser les matrices telles que qui sont en fait les matrices de projections.

[ANTHONYP]

Merci, mais comment tu sais qu'il n'y a que deux cas de figure, pourquoi si b = 0 alors c = 0 ? Peut-on ne pas en avoir plus ?

[ANTHONYP]

Salut,
Il y a une erreur dans ta dernière équation qui devrait être .
Et sinon, tu as deux cas de figure :
- Soit et tu as forcément et il te reste donc et sont égaux à 0 ou 1 -> 4 solutions "spéciales".
- Soit et te reste . Sauf que donc en fait il te reste seulement l'équation pour déterminer (vu que lui, sera forcément égal à ) ce qui signifie qu'il y a une infinité de solutions.
Tu peut éventuellement paramétrer ces solutions en disant que
- Soit on prend , ou et quelconque.
- Soit on prend , quelconque et

Et sinon, une fois que tu aura un peu plus de bagage en algèbre linéaire, tu verra qu'il y a d'autre façon bien plus simple et rapide de caractériser les matrices telles que qui sont en fait les matrices de projections.

Personnellement je vois quatre cas de figure, les voici : Soit b = 0 ou c = 0 ou b=c=0 ou a+d-1 = 0.

[Ben314]

Ben moi j'en vois que deux (bis et répétita...)
Soit a+d-1=0 et les deux équations du milieu sont forcément vérifiées, quelque soient b et c (nul ou pas).
Soit a+d-1 est non nul et, pour que les deux équations du milieu soient vérifiées, il faut que b=0 ET que c=0.

Donc considérer comme un "cas" le fait que b est nul (ou pas), ça ne sert qu'à une seule chose : perdre son temps (à part à la fin si on veut paramétrer les solution obtenues dans le cas a+d-1 non nul, mais ce n'est pas forcément indispensable)

Et de toute façon, "b = 0 ou c = 0 ou b=c=0 ou a+d-1 = 0" ça ne fait pas 4 cas mais seulement 3 vu que le cas "b=c=0", c'est bien évidement un cas particulier du cas "b=0" donc déjà traité.