Matrices - Maths expertes

[Mathuww]

Bonjour, après avoir passé de nombreuses heures à travailler sur ce petit A.2,
on se demanderait si cet exercice ne serait pas faux.

Consigne :
On considère la matrice A = (1 2 )
(-1 4 )

1. Pour x un nombre réel, on pose f(x)=det(A-xI2).
a) Démontrer que f est une fonction polynomiale de degré 2.
b) Déterminer les racines λ1 et λ2 de f(x), avec λ1< λ2.

On a trouvé : λ1= 2, et λ2=3.

2. Soit X= ( x )
( y )
a. Justifier que les systèmes (A- λ1I2)X=0 et (A- λ2I2)X=0 admettent une infinité de solutions.
b. Déterminer alors une solution X1 et une solution X2 de chacun des systèmes.

Merci d'avance

[catamat]

Bonjour

Non l'énoncé est tout à fait correct

Que trouves tu pour la matrice ?

[Mathuww]

(A- λ1I2) = (-1 2)
(-1 2)

Puisque ce n'est pas égale à 0, la seule réponse pour la matrice X est 0 partout sauf qu'on nous demande une infinité de solution

[catamat]

Non on a un système de deux équations a deux inconnues où les deux équations sont identiques autrement dit il n'y en a qu'une !
Cette équation a une infinité de solutions qui sont les coordonnées des points d'une droite.

On te demande une de ces solutions.

[catamat]

autre que (0,0) bien sûr.

[Mathuww]

J'ai tout essayé, je ne trouve pas la solution avec :
(-1 2)X = 0
(-1 2)

et

(-2 2)X = 0.
(-1 1)

Il faut que j'utilise le déterminant ? Les bases de l'espace ?

[catamat]

Mais non c'est du niveau collège là !
On a deux fois l'équation -x+2y=0

donc x=2y
Si y = 1 , x=2 donc X=(2,1) est solution ...

[Mathuww]

Merci beaucoup, je vais essayer de faire la suite de l'exercice (de 3 à 8)
(je savais qu'on pouvait passer d'une équation à double inconnue à une matrice, mais je ne savais pas pour l'inverse).

[Mathuww]

J'ai aussi une autre question pour une possibilité d'énoncé erroné sur une petite valeur.

Le sujet :
On s'intéresse à la matrice
A =
(-1 1 1)
(1 -1 1)
(1 1 -1)
et on pose λ1=-2 et λ2=1.

6. Si X =
( x ) ∈ R**3, on considère le système (A-λ1I2)X = 0.
( y )
( z )

I2 ? Ce n'est pas I3 ?

a) Établir que le système est équivalent à x + y + z = 0.
b) ...

[catamat]

Bonjour
Certes c'est I3 puisque A est une matrice (3,3).