Etude de fonction

[DnarefMat]

Bonjour à tous,

J'ai une question à résoudre dont voici l'énoncé :

On considère la fonction définie sur l'intervalle par :
Et la question est de démontrer que pour tout réel , on a : .

Je n'ai pas trop eu de difficultés à démontrer la première inégalité à savoir : . En effet en partant de l'hypothèse on a :
(Car la fonction ln est strictement croissante sur )
(En multipliant par 100 des 2 côtés)
(En divisant par qui est non nul)
Ce qui démontre la 1ère inégalité.

Cependant pour la 2nde inégalité, je bute. Peut-être dois-je étudier le signe de la différence : et démontrer que ceci est , ou y a-t-il plus simple ?

Je vous remercie de l'aide que vous m'apporterez.

[catamat]

Bonjour

Comparer d'abord
et

[DnarefMat]

Je suppose qu'il faut démontrer que pour tout réel , et que donc par passage à l'inverse,
Mais comment le démontrer ?

[catamat]

Ma fois il suffit de développer !

[DnarefMat]

Je pense avoir trouvé.
En développant , on trouve
D'où l'inégalité soit encore
Je pense que je vais pouvoir montrer cette dernière inégalité assez facilement.

Je vous remercie de votre aide.

[mathelot]

est strictement croissante sur R