Matrices semblables

[matthieu45]

Bonsoir,
cet exercice est très simple mais je n'y arrive pas.
Je dois montrer que matrix([[1,0],[0,-1]]) et matrix([[0,1],[1,0]]) sont semblables. Je connais la définition des matrices semblables, mais je ne sais pas comment m'y prendre, quelle est la méthode ?

Merci d'avance.

[yos]

A représente u dans .
B représente u dans.

[matthieu45]

oui, mais y a-t-il une méthode générale pour montrer qu'une matrice est semblable a une autre, ou trouver une matrice semblable à une autre ?

[yos]

Ben regarde ton cours, il y a des opérations élémentaires sur lignes ou colonnes qui conservent la classe de similitude d'une matrice.
Il n'y a pas de critère simple. Il est nécessaire qu'elles aient même trace, déterminant, valeurs propres, polynôme caractéristique, polynôme minimal,... mais rien de tout celà ne suffit.
Tu peux essayer de réduire les deux matrices à une même troisième par les opérations élémentaires ou bien les diagonaliser, les trigonaliser,...
Rien de tout celà ne m'a tenté pour ton exo.

[fahr451]

ben yos a donné la "méthode générale" deux matrices sont semblables ssi elles representent le même endo ds deux bases différentes. tout revient à chercher la "deuxième base".

[manelle]

oui, mais y a-t-il une méthode générale pour montrer qu'une matrice est semblable a une autre, ou trouver une matrice semblable à une autre ?

En général il suffit de bien regarder : souvent il est immédiat comme ici d'exhiber une base (f1,f2) telle que u(f1)=f2 et u(f2)=f1,
d'où u(f1+f2)=f1+f2 et u(f1-f2)=f2-f1,
et comme u(e1)=e1 et u(e2)=-e2,
il suffit de prendre f1+f2=e1 et f1-f2=e2
d'où f1=(e1+e2)/2 et f2=(e1-e2)/2.
Avec la matrice de passage correspondante .
Cela permet d'en déduire aussi la similitude des matrices par blocs :
([A,0],[0,-A]) et ([0,A],[A,0])
avec la matrice de passage 1/2([I,I],[I,-I]).

[fahr451]

sinon y a la forme de jordan...(mais là c'est du domaine du rêve)
par opérations élémentaires quelconques les matrices ne sont qu équivalentes.

[Epsilon]

On doit trouver une matrice P inversible tq
B=P^(-1).A.P

[matthieu45]

Justement, en parlant de matrices par bloc, on me demande ensuite d'en déduire que la matrice A=matrix([[0,0,0],[1,1,0],[0,0,-1]]) est semblable à une matrice A' vérifiant d(A')=03 où d(A') représente les coefficients diagonaux de A'.
Je ne vois pas comment me servir de la question précédente ...

[fahr451]

je ne comprends pas il n y a pas trois
termes sur la diagonale de A'?

[matthieu45]

Si, les 3 termes diagonaux sont nuls.

[fahr451]

ben il suffit de faire le même changement de base non pas sur e1 et e2 comma à la question 1 mais sur e2 et e3

[matthieu45]

sauf que cette fois ci on ne me demande pas de vérifier que 2 matrices sont semblables, mais de trouver une matrice semblable à A ... Je ne comprends pas.

[fahr451]

ds ta matrice A tu retrouves la matrice de la question 1 ds le bloc 2,2 du bas à droite. ta matrice A' c est celle avec la première colonne de A et le bloc
2 2 semblable.

[matthieu45]

encore une question, je prend par exemple une matrice matrix([[1,1,1],[1,-2,1],[1,1,1]]);
Je viens de montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.

Si je fais des opérations élémentaires sur cette matrice, en me débrouillant pour obtenir une matrice aux coefficients diagonaux nuls, est-ce que cette matrice obtenue sera-t-elle semblable à la matrice d'origine ?

[fahr451]

non elle ne sera pas semblable.
elle sera équivalente (même rang) c'est tout;