Matrices semblables

[Capss]

Bonjour, je voulais connaitre le truc pour montrer que deux matrices sont semblables car en partant de la définition, je ne vois pas trop comment procéder







merci d'avance :happy2:

[grabote]

Tu peux utiliser le fait que deux matrices sont semblables si et seulement si elles décrivent le même endomorphisme mais dans des bases différentes, c'est-a-dire qu'il existe un endomorphisme u et deux bases B1 et B2 telles que A=MB1(u) et B=Mb2(u), où A et B sont tes matrices de départ.

On pose
A=
(12;0;0)
(0;9/2;-9/2)
(0;-9/2;9/2)

B=
(0;0;0)
(0;9;0)
(0;0;12)

On effectue alors un travail au brouillon: on pose B1=(e1,e2,e3) la base canonique de R^3, et u l'endomorphisme canoniquement associé a A. On a dc:
u(e1)= 12*e1
u(e2)= 9/2*e2 - 9/2*e3
u(e3)= -9/2*e2 + 9/2*e3

On cherche alors une base B2=(f1,f2,f3) telle que B=MB2(u).
Donc
u(f1)=0
u(f2)=9*f2
u(f3)=12*f3

On trouve que les valeures suivantes sont solutions:
f1= e2+e3
f2=e2-e3
f3=e1
On verifie facilement que la famille (f1,f2,f3) est une base de R^3.

A ce stade là, on peut conclure, mais si tu n'a pas vu le théorème enoncé précédement, il vaut mieux continuer:
On pose P la matrice de passage de B1 à B2. Donc
P=
(0;0;1)
(1;1;0)
(1;-1;0)

et P^-1=
(0;1/2;1/2)
(0;1/2;-1/2)
(1;0;0)

On a bien B=P^-1*A*P donc les matrices sont semblables.
Voilà pour la méthode... Mais tout ce travail se fait au brouillon, au propre il ne reste qu'à poser P=.., calculer P^-1, et verifier que B=P^-1*A*P et conclure.

[abel]

Sinon, si tu as vu les theoremes concernant les diagonalisations, il te suffit de diagonaliser A (si possible) et de tombre sur B. Sinon la methode exposée au dessus est bcp + générale donc à retenir.

[travail-efficace]

il me semble aussi que deux matrices semblables ont les memes valeurs propres.
donc il suffit de calculer les valeurs propres

[abcd22]

il me semble aussi que deux matrices semblables ont les memes valeurs propres.
donc il suffit de calculer les valeurs propres

Attention, avoir les mêmes valeurs propres est une condition nécessaire pour que 2 matrices soient semblables mais pas suffisante. Les matrices et ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités mais ne sont pas semblables. Si deux matrices ont toutes les deux n (= la dimension de l'espace) valeurs propres distinctes (comme ici), ou plus généralement si elles sont diagonalisables, le fait qu'elles aient les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités implique qu'elles sont semblables, mais ce n'est pas le cas en général.