DM nombres complexes maths expertes

[FernandAimeLesMaths]

Bonjour,

J'ai un dm de maths expertes où je bloque. Consigne :

On a z' = (1-z)/( z barre - 1)

1) a) Montrer que pour tout nombre complexe z ≠ 1, (z' - 1)/(z-1) est un réel.
b) Que peut-on en déduire pour les points A, M et M' ?
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points M(z) tels que :
a ) z' = z
b ) z' = z(a)

PS : pour cette exercice, on doit construire une figure au fur et à mesure, il y a d'autres questions que j'ai réussi à faire déjà et dont je vous met les réponses pour aider.
-On a A, B, et C les points d'affixes respectives 1, 3+2i et 3-2i.
- On a résolu (z - 1) (z^2 - 6z +13) = 0 ---> (z=1)
- z'(B') = - i et z'(C') = i (je ne suis pas sur de la notation mais ce sont les affixes de B' et C' qui sont les images de B et C par f, f étant la transformation associant tout point M du plan au point M' d'affixe z')

Merci d'avance

[Black Jack]

Bonjour,

Je commence :

1 a)
Une méthode parmi d'autres :

(z' - 1)/(z -1) = ((1 - z)/(z/ - 1) - 1)/(z-1)

(z' - 1)/(z -1) = ((1 - z - z/ + 1)/(z/ - 1))/(z-1)

(z' - 1)/(z -1) = (1 - z - z/ + 1)/((z/ - 1)*(z-1))


(z' - 1)/(z -1) = (2 - (z + z/))/(z * z/ - (z + z/) + 1)

avec z = x + iy --> z/ = x - iy :

(z' - 1)/(z -1) = (2 - (x + iy + x - iy))/(x² + y² - (x + iy + x - iy) + 1)

(z' - 1)/(z -1) = 2(1 - x)/(x² + y² - 2x + 1) ... qui est bien un réel.
**********
1 b)

....

**********
2)

...

[Pisigma]

Bonjour,

petite variante pour la 1 a)

en réduisant au même dénominateur, il vient

[FernandAimeLesMaths]

Merci beaucoup !

Très bien alors du coup pour revenir à la 2)a), j'arrive à cela :

(1-z)/(z barre -1) -1 = 0
(1 - z - z barre +1) / (z barre -1) = 0
( 2 - (z + z barre) ) / (z barre - 1) = 0
( 2 - 2x) / (x - iy -1) = 0

Je ne vois pas comment avancer après ça ?

[Black Jack]

Merci beaucoup !

Très bien alors du coup pour revenir à la 2)a), j'arrive à cela :

(1-z)/(z barre -1) -1 = 0
(1 - z - z barre +1) / (z barre -1) = 0
( 2 - (z + z barre) ) / (z barre - 1) = 0
( 2 - 2x) / (x - iy -1) = 0

Je ne vois pas comment avancer après ça ?

Bonjour,

2a)

z' = (1-z)/( z\ - 1)

Si z' = z -->

(1-z)/( z\ - 1) = z
1-z = z.z\ - z
z.z\ = 1

(x + iy)(x-iy) = 1
x² + y² = 1

Le lieu des points M d'affixe z est donc le cercle d'équation x² + y² = 1 dans le plan complexe privé du point d'affixe 1, soit donc le cercle de centre à l'origine du repère et de rayon 1 privé du point d'affixe 1

Et comme z' = z, le lieu des points M' d'affixe z' est donc aussi le cercle d'équation x² + y² = 1 dans le plan complexe privé du point d'affixe 1, donc le cercle de centre à l'origine du repère et de rayon 1 dans le plan complexe privé du point d'affixe 1.
***

2b)
z' = z(A) --> le point M' est confondu avec le point A.

z' = 1
z' = (1-z)/( z\ - 1)
z' = (1-z)/( z\ - 1) = 1

1 - z = z\ - 1
1 - x - iy = x - iy -1
x = 1

Donc le lieu des points M d'affixe z est la droite d'équation x = 1 mais privée du point d'affixe 1.
***

Rien relu et donc à vérifier... et à comprendre.

[FernandAimeLesMaths]

Ah d'accord très bien, j'ai compris!

En tous cas merci beaucoup, vous me sauvez.
Bon et bien je pense que j'ai tout ce qu'il me faut, merci.

Merci encore