Racine carrée nombres complexes maths expertes

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Kevin38100
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Racine carrée nombres complexes maths expertes

par Kevin38100 » 11 Oct 2021, 23:43

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien. Je viens vers vous aujourd'hui pour une question à propos d'un DM de maths expertes Terminale, j'ai en effet déjà réalisé toutes les questions jusqu'à la (d) ("Démontrer la proposition (RC)"), où justement je bloque. Je ne comprend pas vraiment ce qu'il faut répondre ici, ni ce qui est décrit ici comme la "proposition (RC)" j'ai donc aussi joint le début de l'énoncé si certaines informations y seraient nécessaires. J'ai besoin d'aide pour cette question et potentiellement la 4, étant donné que j'ai, comme précisé, déjà réalisé les questions précédentes.
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me répondre.
Cordialement


" Dans la suite on dira que z ∈ C est une racine carrée de a ∈ C si et seulement si z² = a.
Le but est de montrer la proposition suivante : tout nombre complexe non nul admet exactement deux
racines carrées (RC).
Dans la partie A on traite quelques exemples. Dans la partie B on démontre la proposition.
A) Quelques exemples
1. Résoudre l’équation z ∈ C, z² = 2.
2. Résoudre l’équation z ∈ C, z² = −4.
3. Résoudre l’équation z ∈ C, z² = i. (on cherchera z sous forme algébrique z = x + iy avec x, y ∈ R)
4. Résoudre l’équation z ∈ C, z² = 1 + i. (on cherchera z sous forme algébrique z = x + iy avec
x, y ∈ R)
B) Démonstration de la proposition (RC)
Dans cette partie z et c sont des nombres complexes dont l’écriture respective sous forme algébrique est
z = x + iy et c = a + ib.
1. Démontrer que z² = c ⇐⇒ {x² − y² = a (1)
{2xy = b (2)
2. En déduire que la proposition est vraie dans le cas où b = 0
3. On suppose maintenant que b n'est pas égal à 0.
(a) Démontrer que x n'est pas égal à 0.
(b) En déduire que le système (1) est alors équivalent à
{4x^4 − 4ax² − b² = 0 (1′)
{y =b/2x (2′)
(c) On pose X = x²
Déterminer une équation vérifiée par X en déduire que l’équation (1′) a exactement deux solutions.
(d) Démontrer la proposition (RC).
4. Déterminer les racines carrées z1 et z2 de 5 + 2i `a l’aide des questions précédentes et vérifier votre
résultat en calculant z1² et z2² "



Pisigma
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Pisigma » 12 Oct 2021, 00:14

Re

puisque la méthode préconisée ne tient pas compte de l'égalité des modules, il vient



en tirant de et en l'injectant dans en réduisant au même dénominateur tu obtiendras une équation du 4e degré en

Kevin38100
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Kevin38100 » 12 Oct 2021, 00:16

Ah je vois j'avais une piste dans le genre, merci beaucoup, auriez-vous une idée pour la (d) (proposition (RC)) à tout hasard ? Je ne comprends vraiment pas la démarche à suivre

Pisigma
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Pisigma » 12 Oct 2021, 00:23

c'est la même façon de procéder

tu tires y de (2) et tu l'injectes dans (1)

Kevin38100
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Kevin38100 » 12 Oct 2021, 00:25

Re, et cela suffit à démontrer la proposition (RC) ?

Pisigma
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Pisigma » 12 Oct 2021, 00:28

oui

Black Jack

Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Black Jack » 12 Oct 2021, 13:41

Bonjour,

Attention quand même.

La proposition est à démontrer dans le cas général.

Vérifier la proposition dans un cas particulier n'est pas suffisant.

Donc, if faut démontrer que le système :
x²-y²=a
2xy = b

... a bien 2 couples (x,y) distincts réels solutions (pour x et y non simultanément nuls)

8-)

Kevin38100
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Kevin38100 » 12 Oct 2021, 20:37

Ah merci je me demandais bien si c'était réellement si simple que ce qu'on m'avait dit plus tôt haha
Et vous sauriez d'où partir pour arriver à prouver que le système a seulement 2 racines précisément?

Pisigma
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Pisigma » 12 Oct 2021, 21:13

Ah merci je me demandais bien si c'était réellement si simple que ce qu'on m'avait dit plus tôt haha
Et vous sauriez d'où partir pour arriver à prouver que le système a seulement 2 racines précisément?


ben, je croyais que tu t'en sortais puisque tu ne disais pas que tu avais un problème

maintenant à toi de travailler!

montre un peu à quelle équation en tu arrives et dis nous comment tu comptes la résoudre

Kevin38100
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Kevin38100 » 12 Oct 2021, 21:23

Ah mais je n'ai rien dit je vous remercie pour votre aide haha j'avais demandé simplement si utiliser un cas précis avec 5+2i suffisait à démontrer la proposition ce à quoi vous m'avez répondu que oui ^^ sinon oui je suis en train de le faire je reviens vers vous dès que j'ai du progrès !

Pisigma
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Pisigma » 12 Oct 2021, 21:51

je crois que tu m'as mal compris

quand je te disais

Pisigma a écrit:c'est la même façon de procéder

tu tires y de (2) et tu l'injectes dans (1)


ça sous-entendait dans le cas général évidemment ;pour moi c'était ça le cas(RC) que tu évoquais

Kevin38100
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Kevin38100 » 12 Oct 2021, 23:57

Ah oui effectivement pardon il y a eu quiproquo, au niveau de l'équation par ailleurs, j'arrive à x^4-5x^2-1=0 je remplace donc x² par X ? J'ai toujours quelques difficultés à comprendre la question sur la proposition (RC) de par ailleurs

Black Jack

Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Black Jack » 13 Oct 2021, 07:24

x²-y²=a (1)
2xy = b (2)
avec x et y non simultanément nuls

1° si b = 0 --> x ou y = 0
a) Si x = 0, alors y² = -a ...et il y a 2 valeurs réelles possibles de y pour a < 0, soit y1 = sqrt(-a) et y = -sqrt(-a)
--> 2 racines carrées distinctes de z qui sont z1 = -i* sqrt(-a) et z2 = i*sqrt(-a) (avec a < 0)

b) Si y = 0 ...
--> 2 racines carrées distinctes de z qui sont z1 = -sqrt(a) et z2 = sqrt(a) (avec a > 0)

2° si b différent de 0 : --> x et y non nul

(2) --> y = b/(2x)
remis dans (1) --> x² - b²/(4x²) = a
4x^4 - 4ax² - b² = 0

Et c'est avec cette équation (4x^4 - 4ax² - b² = 0) ... qu'il faut raisonner pour montrer qu'on aboutit toujours à 2 valeurs distinctes pour z

Rien relu.


8-)

Pisigma
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Re: Racine carrée nombres complexes maths expertes URGENT

par Pisigma » 13 Oct 2021, 09:03

je laisserai Black Jack poursuivre dans le cas général

Kevin38100 a écrit:j'arrive à x^4-5x^2-1=0 je remplace donc x² par X ? comprendre la question sur la


en posant







est à rejeter; à toi de voir pourquoi

d'où les valeurs de

 

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