Matrice vs déterminant nxn

[sarah12345]

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien !

J'ai du mal à comprendre une chose :

Lorsqu'on utilise des opérations sur les lignes ou les colonnes d'une matrice dans le but d'évaluer le déterminant de celle-ci, la permutation de deux lignes ou de deux colonnes change le signe du déterminant.
Cependant, lorsqu'on échelonne une matrice, permuter deux lignes ou deux colonnes ne change rien à celle-ci.

Je ne comprends pas quelle est la différence et pourquoi ça affecte l'un mais pas l'autre... Dans le cas de la résolution d'un problème, comment suis-je censée savoir si je dois utiliser une matrice ou un déterminant ? Quelle est la différence ?

Franchement c'est très flou pour moi, toute aide sera grandement appréciée.

Merci infiniment.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Une matrice est un tableau de nombres. Quand on fait une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice, on change la matrice, ce n'est plus la même matrice. On obtient une matrice qui n'est pas égale à la matrice de départ, mais seulement équivalente à celle-ci (pour une relation d'équivalence qu'on appelle équivalence à gauche, parce que faire une suite d'opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice revient à multiplier celle ci à gauche par une matrice inversible). Cette relation d'équivalence préserve un certain nombre de propriétés de la matrice, essentiellement le sous espace engendré par les lignes de la matrice, et donc le rang de cette matrice.

Le déterminant d'une matrice carrée est un nombre. Le déterminant de la matrice ne change pas quand on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne. Le déterminant de la matrice est changé en son opposé quand on permute deux lignes de la matrice.

[sarah12345]

Bonjour,

Une matrice est un tableau de nombres. Quand on fait une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice, on change la matrice, ce n'est plus la même matrice. On obtient une matrice qui n'est pas égale à la matrice de départ, mais seulement équivalente à celle-ci (pour une relation d'équivalence qu'on appelle équivalence à gauche, parce que faire une suite d'opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice revient à multiplier celle ci à gauche par une matrice inversible). Cette relation d'équivalence préserve un certain nombre de propriétés de la matrice, essentiellement le sous espace engendré par les lignes de la matrice, et donc le rang de cette matrice.

Le déterminant d'une matrice carrée est un nombre. Le déterminant de la matrice ne change pas quand on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne. Le déterminant de la matrice est changé en son opposé quand on permute deux lignes de la matrice.

Merci beaucoup pour votre message !

Voici ce que je ne comprends toujours pas : Par exemple, si je veux calculer le déterminant d'une matrice, j'ai deux choix : soit je simplifie d'abord la matrice, soit je simplifie le déterminant. Si je simplifie la matrice en permutant deux lignes, rien ne change. Cependant, si je simplifie le déterminant en permutant deux lignes, le signe change. Comment est-ce qu'au final on peut arriver au même résultat alors que le déterminant sera affecté par les opérations de permutation mais pas la matrice ?

[Rhaegar]

Bonjour,

Une matrice est un tableau de nombre tandis qu'un déterminant est un nombre : ce n'est pas du tout la même chose.

Quand tu échelonnes une matrice, tu la modifies en une autre matrice qui n'a donc pas nécessairement le même déterminant. Si est ta matrice initiale et ta matrice échelonné, il existe une matrice dite de passage vérifiant . En passant au déterminant on a et le déterminant de n'a aucune raison d'être égale à 1.

[sarah12345]

Bonjour,

Une matrice est un tableau de nombre tandis qu'un déterminant est un nombre : ce n'est pas du tout la même chose.

Quand tu échelonnes une matrice, tu la modifies en une autre matrice qui n'a donc pas nécessairement le même déterminant. Si est ta matrice initiale et ta matrice échelonné, il existe une matrice dite de passage vérifiant . En passant au déterminant on a et le déterminant de n'a aucune raison d'être égale à 1.

C'est très intéressant je n'étais pas du tout au courant ! Mais dans ce cas si j'ai un problème, par exemple un système d'équations linéaires à résoudre, est-ce que je dois réduire la matrice ou le déterminant ?

Je vous donne un exemple concret : Déterminer toutes les valeurs de k pour lesquelles le système d'équations linéaires suivant a une et une seule solution :

x + y + z - kw = 0
x + ky + 2z + w = 1
2x + ky + z + w = 2
x + ky + z + w = 3

Je sais qu'ici la réponse est tous les réels, mais si je veux résoudre ce problème, est-ce que je dois mettre les coefficients dans une matrice et réduire ou les mettre dans un déterminant et réduire ? En sachant que permuter deux lignes affectera l'un mais pas l'autre ?

[azf]

Bonjour

Comme c'est la nuit je poste une aide mais c'est à titre exceptionnel car je n'empiète pas sur les aides des autres que je salue au passage (mais ils dorment)

Mais dans ce cas si j'ai un problème, par exemple un système d'équations linéaires à résoudre, est-ce que je dois réduire la matrice ou le déterminant ?

On vous rappelle qu'un déterminant est un nombre (il ne se réduit pas)

À toute matrice associée à un système d'équation linéaire on peut y associer une matrice dite échelonnée réduite (plus simple) et cette matrice est unique

Pour cela il faut effectuer des opération élémentaires

1.permuter deux lignes
2.Multiplier une ligne par un scalaire non nul
3.Ajouter à une ligne le produit d'une autre ligne par un scalaire

Pour obtenir cette réduction il faut faire en sorte qu'avec ces opérations on ait

1.Toutes les lignes nulles (s'il y en a) sont situées en dessous des lignes non nulles
2.Dans chaque ligne le premier coefficient non nul vaut 1
La colonne où est situé le premier le premier coefficient non nul de cette ligne est appelé colonne pivôt de cette ligne
3.La colonne pivôt d'une ligne possède que uniquement ce pivôt pour seul coefficient non nul
4.Le pivôt de toute colonne pivôt qui précède la colonne pivôt d'une ligne est toujours situé au dessus de cette ligne

par exemple

son échelonnée réduite sera

par exemple en considérant un système homogène qui matricellement s'écrit



vous avez

avec cette matrice là il est facile de trouver

bon moi j'ai faim et là il y a de la viande (et le soleil est sur le point de se lever et dans les Carpâtes c'est pas notre truc le soleil lol)
https://www.youtube.com/watch?v=mqhbwrrfND8

[Rhaegar]

Bonjour,

En échelonnant ta matrice, tu fais des opérations qui ne changent pas les solutions du système linéaire. C'est pour cela qu'on échelonne pour résoudre les systèmes linéaires. Cependant le déterminant change (comme tu l'as constaté). Mais le déterminant ne donne qu'une information sur le système qui ne permet pas de le résoudre. Si le déterminant est non-nul, alors le système est de rang maximal et tu peux échelonner jusqu'au bout pour trouver une unique solution au système. Mais connaître seulement le déterminant ne t'indiquera pas quelle est cette solution. Si le déterminant est nul, le système n'est pas de rang maximal. En échelonnant, tu vas découvrir que tu as des équations en double. Au final, tu auras plus d'équations que d'inconnus. Dans ce cas, tu auras soit aucune solution, soit une infinité. Mais le déterminant ne te dis pas dans quel cas tu es et encore moins quelles sont les solutions s'il y en a. Dans mon exemple de tout à l'heure avec , le déterminant de n'est jamais nul. Par conséquent, les déterminants de et sont nuls en même temps où ne sont pas nul en même temps : les informations qu'il donne sur le système sont les mêmes. Le rang de et de est le même et le solutions des systèmes associées également.

En s'éloignant un peu du sujet :
La valeur du déterminant lorsque celui-ci est non-nul donne d'autres informations sur la matrice (déterminant négatif si la transformation associée à A renverse l'orientation, déterminant plus ou moins grand si la transformation à tendance à étirer ou non les longueur). Ces informations ne sont pas conservées en échelonnant la matrice (car en général notamment) mais le solutions du systèmes linéaire si.
En fait, deux matrices et sont équivalentes lorsqu'il existe une matrice de passage vérifiant . Comme , on a . Donc pour cette relation d'équivalence, les déterminants sont conservée. Les transformations associées à et sont les même mais exprimées dans des bases différentes.

J'espère que tu as mieux compris et que je t'ai pas trop embrouillé avec la deuxième partie.