Déterminant et inverse d'une matrice

[Ccil]

Bonjour à tous,
Je dois trouver l'inverse de la matrice suivante :
A

J'ai d'abord calculé le déterminant, j'ai trouvé det(A) = 33

maintenant j'écris le système :



Je dois maintenant exprimer x, y et z en fonction de x', y' et z' mais... Je ne sais pas comment m'y prendre...

Merci d'avance pour vos réponses !
Ccil

[Ben314]

Salut,
Tu procède
- Soit par substitution (peu recommandé dans le supérieur : ça fait "concon", mais pourquoi pas)
- Soit par la méthode du pivot de Gauss
- Soit... par tout autre méthode qui te viendrait à l'esprit...

Ce qu'il faut absolument comprendre, c'est que c'est certes bien long et bien chiant à faire, mais que c'est jamais que niveau collège et pas plus (addition, soustraction, multiplication division et c'est tout)

[Intégrer]

Tu feras gaffe, ton déterminant c'est 23 et non 33

[WillyCagnes]

Bjr
Voir ce lien
http://fr.m.wikihow.com/calculer-l'inverse-d'une-matrice-3x3

[zygomatique]

Salut,
Tu procède
- Soit par substitution (peu recommandé dans le supérieur : ça fait "concon", mais pourquoi pas)
- Soit par la méthode du pivot de Gauss
- Soit... par tout autre méthode qui te viendrait à l'esprit...

Ce qu'il faut absolument comprendre, c'est que c'est certes bien long et bien chiant à faire, mais que c'est jamais que niveau collège et pas plus (addition, soustraction, multiplication division et c'est tout)

salut

et pour poursuivre ...

soit on prend une calculatrice (comme on le fait en Term spé math) ...et on multiplie par 23 pour avoir des valeurs exactes ...

mais c'est un bon entrainement de le faire à la main ... au moins une fois ... et en particulier sous forme matricielle quand on est dans le supérieur ...

[Ben314]

Perso, mais ça vaut ce que ça vaut (i.e. c'est parfaitement discutable), quand je suis en face de quelqu'un capable décrire que, face à un système de 3 équations à 3 inconnues, il "ne sais pas comment s'y prendre", j'aurais plus que beaucoup beaucoup tendance à commencer par utiliser une méthode "toute pourrie" style substitution et/ou tout autre "bricolage pour aller plus vite" pour que l'étudiant en question comprenne effectivement que c'est du niveau collège et rien de plus.
Ensuite, une fois que c'est parfaitement acquis que c'est élémentaire on peut passer à du "plus joli" avec le pivot de gauss et l'écriture matricielle permettant de déterminer l'inverse.

Mais pour un truc aussi concon, je trouve ça on ne peut plus dommage de voir le nombre d'étudiant pour qui la méthode en question est complètement "boite noire".
Et en plus ce coté "boite noire" fait que, dés que ça merde dans la méthode (ligne de 0 ou un truc du même genre), l'étudiant est totalement démuni vu que pour lui, les nombres qu'il a dans son tableau n'ont aucune signification.

[pascal16]

Bonjour,
comme indiqué dans la question, il faut inverser la matrice, donc un pivot de Gauss complet

La méthode classique commence par ça en général :
2 3 -1 . 1 0 0
2 2 1 . 0 1 0
3 -3 2 . 0 0 1
on ne travaille que sur les lignes, jamais sur les colonnes, on reporte chaque combinaison dans la matrice complète 3*6.

au final tu trouves (1/23) fois la matrice
7 -3 5
-1 7 -4
-12 15 -2

[Intégrer]

Pour les matrices 3x3, c'est pas plus rapide de faire (1/det)* la transposée de la comatrice ?

[pascal16]

Je crois que aucune méthode n'est au programme du lycée hors prépa, le pivot de gauss permet de programmer l'inversion. Avec le déterminant et la solution de la calculette, c'est comme ça que j'ai retrouvé une matrice sympa à écrire. Et le pivot complet m'a pris 6 'lignes'.

[Ccil]

Bonjour, merci pour vos réponses, même si, à la vue de certain j'ai quand même le sentiment d'être jugée et prise pour une grosse naze... Allez on va dire que l'important est de trouver des réponses me permettant d'avancer.

[pascal16]

Tu as vu quelle méthode dans ton cours ?
Hors cpge, aucune n'est au programme du lycée, donc si tu n'en connais pas, c'est normal.
La seule inversion vue au lycée, c'est : calculatrice.
Avec déterminant + calculatrice, j'ai écrit la matrice de façon sympa.

La seconde vue en cpge car simple et faisable à la main c'est celle de Gauss
La suivante, c'est la comatrice qui doit être au programme de la seconde année de cpge et programmable par récursivité.

[Ccil]

Bonsoir pascal 16, alors un peu compliqué de répondre à ta question, pour tout te dire, je suis une personne de 35 ans, qui a donc passé son bac S il y a 17 ans (j'étais pas trop mauvaise à l'époque vu que j'avais eu 14/20 en math au bac) et je suis en train de retravailler mes maths, me remettre à niveau pour passer un concours de la Fonction publique territoriale afin d'avoir une évolution de carrière. Donc j'ai récupérer des cours via un formateur, ce sont des cours assez concis, bien faits mais peu développés, donc je jongle comme je peux. Il y avait la méthode de Gauss dedans, qu'il me semblait avoir compris en faisant 1, 2 exercices, visiblement pas suffisant, je vais persévérer, pour tenter d'y arriver, mais je vais aussi essayer comme indiqué dans le lien de Willycagnes qui a l'air bien expliqué. Donc vois-tu je ne suis pas une lycéenne, mais une vieille cherchant ici un peu d'aide ))

[pascal16]

A mon avis, tu ne révises pas ce qu'il faut, tu perd ton temps
Je suis un jeune de 42 ans qui a passé son capes l'an passé. La capes est niveau licence 1 de math (des connaissances de licence 2 et 3 aident pas mal) , j'ai donc pris le programme de licence 1 et un bouquin. J'ai ensuite refait les épreuves de 5 dernières années. Je n'ai donc révisé que ce que j'avais de besoin
Il faut penser à rajouter la partie statistiques.

pour la méthode de Gauss
2 3 -1 . 1 0 0 notée L1
2 2 1 . 0 1 0 notée L2
3 -3 2 . 0 0 1 notée L3

Si on remplace une ligne, il faut toujours qu'elle apparaisse dans la combinaison linéaire
on part de la matrice identité collée à la matrice à inverser
on arrive à la matrice inversée collée à la matrice identité
Voici comment j'ai fait en un minimum d'étapes
étape 1, je garde L1, je remplace L2 par L1-L2 et je remplace L3 par 3L1-2L3.
J'ai donc une première colonne (2 0 0 ), je diviserai L1 par 2 plus tard
étape 2, je garde L1 et L2, je remplace L3 par L3-15L2
j'ai une matrice triangulaire supérieure.
Ici, c'est suffisant pour résoudre 3 éq à 3 inconnues, mais si on continue, on aura l'inverse
maintenant je remonte
je divise par 23 L3 (tiens, le déterminant est de retour) qui devient 0 0 1 x x x
je remplace L2 par L2+2L3 qui devient 0 1 0 x x x
je remplace L1 par L1+L3 qui devient 2 x 0 x x x
je remplace L1 par L1-3L2 qui devient 2 0 0 x x x
je divise par 2 L1 qui devient 1 0 0 x x x

J'ai à gauche la matrice identité et à droite l'inverse de la matrice de départ

[Ben314]

Je le redit une dernière fois : a mon avis, lorsque c'est la première fois qu'on fait ce type de truc, il vaut infiniement mieux une méthode dans laquelle on comprend parfaitement bien toutes les tenant et aboutissement AVANT de passer à une rédaction plus synthétique mais... plus mystérieuse...

Mais tu fait comme tu le sent : soit tu as envie de comprendre ce que tu fait, soit... tu as pas envie...

[pascal16]

Tu as raison.
répondons à la question en repartant de la matrice inverse trouvée à la calculette :


donc

Pour ce qui est du concours : part bien des derniers énoncés pour ne pas réviser en dehors de ce qui est demandé !

[Ccil]

Merci pour vos réponses, et il est clair que j'ai envie de comprendre ce que je fais

[Ben314]

Je vais essayer de me fendre d'un bout de laïus pour expliquer comment on peut présenter très très exactement les mêmes calculs soit "à la va comme je te pousse" (mais parfaitement élémentaire) jusqu'à la forme "aboutie" présentée par Pascal çi dessus :

"Niveau zéro", et en faisant "n'importe quoi" on peut parfaitement écrire un truc comme ça :
La première équation dit que et il ne reste "plus qu'à" exprimer et en fonction de à l'aide des 2 autres pour conclure. Ces 2 équations disent maintenant que :
et
c'est à dire et
Comme on est parti à dire qu'on fait n'importe quoi, là, pour pas se faire c... avec des fraction, on peut écrire les 2 équations sous la forme : et .
On garde la (B) qui va servir à trouver en fonction du reste et y'a plus qu'à résoudre l'unique équation soit donc
c'est à dire
(B) donne alors
c'est à dire
Enfin (A) donne alors
c'est à dire

. . . Suite au prochain épisode . . . ou, comment présenter exactement les mêmes calculs de façon plus compacte...

[Ccil]

Merci pour vos réponses, à l'heure qu'il est j'en suis :
Si on remplace une ligne, il faut toujours qu'elle apparaisse dans la combinaison linéaire
on part de la matrice identité collée à la matrice à inverser
on arrive à la matrice inversée collée à la matrice identité
Voici comment j'ai fait en un minimum d'étapes
étape 1, je garde L1, je remplace L2 par L1-L2 et je remplace L3 par 3L1-2L3.
J'ai donc une première colonne (2 0 0 ), je diviserai L1 par 2 plus tard
étape 2, je garde L1 et L2, je remplace L3 par L3-15L2
j'ai une matrice triangulaire supérieure. Là
Ici, c'est suffisant pour résoudre 3 éq à 3 inconnues, mais si on continue, on aura l'inverse
maintenant je remonte
je divise par 23 L3 (tiens, le déterminant est de retour) qui devient 0 0 1 x x x là je suis largée
je remplace L2 par L2+2L3 qui devient 0 1 0 x x x
je remplace L1 par L1+L3 qui devient 2 x 0 x x x
je remplace L1 par L1-3L2 qui devient 2 0 0 x x x
je divise par 2 L1 qui devient 1 0 0 x x x

J'ai à gauche la matrice identité et à droite l'inverse de la matrice de départ[/quote]

Je suis aussi en train de me galérer pour vous envoyer un scan de ma feuille manuscrite... Décidément je suis nulle en tout

[Ccil]

là où j'en suis

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[Ccil]

là où je suis largée

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