TS spé math : décomposition de facteurs premiers

[sekhmet45]

Bonjour à tous, j'ai un petit exercice sur les décompositions de facteurs premiers. Même en ayant lu et compris le cours il m'est impossible de faire cet exercice :

a = p1^k1 x p2^k2 x ... x pn^kn

b = p1^l1 x p2^l2 x ... x pn^ln

Les p sont des nombres premiers distincts et les k et l des entiers naturels, n entier naturel non nul..

1) Démontrer que si un nombre premier p divise a² alors p divise a. En déduire que p² divise a².
2)a) Démontrer que si a² divise b² alors a divise b.
b) Démontrer que si a^3 divise b² alors a divise b.
c) Si a² divise b^3 peut on dire que a divise b ?
3)Démontrer que PGCD (a^n; b^n) = [PGCD ( a;b)]^n


On a montré au préalable que les décompositions de a et a² ont les mêmes facteurs premiers.

Et bien sur vive les démonstrations =)

Merci de votre aide

[BancH]

Déjà les deux premières questions:

1) Si divise , alors s'écrit , or n'est pas un carré parfait car est premier, pour qu'il le soit, il faut ''.
On a alors ''

2) Si divise , alors

[sekhmet45]

Oui merci c'est bon, j'ai fait le reste il ne me manque que la question 3) je pense y arriver seul mais un coup de main ne serait pas de refus =)

[BancH]

Le pgcd de et de est avec et et et premiers entre eux.

et , et car et sont premiers entre eux.

[sekhmet45]

o quelle rapidité, je dois m'incliner devant ton savoir =)
Et bien merci à toi, bonne soirée ;)

[BancH]

Yep, bonne soirée.