Explication sur la continuité d'une fonction

[Engel10]

Bonjour à tous. J'espère que vous allez bien. Excusez moi pour le dérangement mais j'ai une petite incompréhension dans la correction d'un exercice.
Mon problème concerne la partie hachurée en jaune. Je veux savoir pourquoi il existe un voisinage de x_0 sur lequel f est supérieure ou égale à zéro .
Merci d'avance pour vos explications.

[hdci]

Bonjour,

Vision intuitive : f est continue, donc on peut tracer son graphe "sans lever le crayon".
Si , alors le point de la courbe est "décollé" au dessus de l'axe des abscisses. Il n'est donc pas possible que f soit inférieure ou égale à zéro sur n'importe quel voisinage, car il faudrait "lever le crayon" pour aller placer le point A.

Vision formelle : par définition de la continuité, on a



Prenons : c'est bien un nombre strictement positif puisque . Et alors



Or par définition de on a

On a donc bien donc f est bien strictement positive sur un voisinage de

[Engel10]

Vraiment merci beaucoup!