Exercice relations binaires

[1tneuq]

Bonjour, ayant un exam de maths à la fin de la semaine prochaine, j'ai décidé de faire des anales de 2019 pour m'entraîner, et je suis tombé sur l'exercice suivant:

Soit E = [0, 50]^2 muni de l’ordre produit ≤×.
(a, b) ≤× (c, d) ⇔ a ≤ c ∧ b ≤ d
Soit F ⊂ E donné par
F = {(25, 10),(6, 19),(27, 1),(40, 33),(15, 19),(31, 30),(13, 10)}
(a) F a-t-il un plus petit élément ? si oui, lequel ?
(b) F a-t-il un plus grand élément ? si oui, lequel ?
(c) Donnez tous les éléments minimaux et maximaux de F.
(d) Combien y a-t-il de majorants de F ?

Mon problème est que je ne comprends pas le terme "ordre produit" (je suppose que c'est une relation qui a un rapport avec la multiplication) et je ne sais pas comment utiliser la formule d'équivalence de l'énoncé pour répondre aux questions. Plus précisément, je ne vois pas quel lien il y'a entre les éléments de F et la relation de l'énoncé, car quand je prends par exemple a=25, b=10, c=6 et d=19, et que je remplace les valeurs respectives dans "a ≤ c ∧ b ≤ d", cela ne fonctionne pas. Quelqu'un peut-il me donner des pistes svp ?
Merci d'avance aux personnes qui prendront le temps de lire ce message et de s'attarder sur mon problème

[Rdvn]

Bonjour
Consultez ceci

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a ... rerel.html

Voici de plus quelques éclaircissements (en supposant que [0,50] désigne l'ensemble des entiers de 0 à 50,
ce qui n'est pas clair dans le texte, mais la dernière question semble le suggérer)
Le produit des nombres n'a aucun rapport avec cet exercice : le produit dont on parle est le produit de l'ensemble[0,50] par lui même c'est à dire l'ensemble des couples (x,y) où x et y sont des éléments de [0,50] .
C'est cela qui est désigné par E, et F est bien un sous-ensemble de E
Pour votre exemple vous avez raison de dire "ça ne fonctionne pas " , cela signifie juste que dans ce cas (a,b) n'est pas inférieur à (c,d) et que (c,d) n'est pas inférieur à (a,b) non plus : il s'agit d'une relation d'ordre partiel (voir source ci dessus : dans votre cas travailler cette référence est sans doute plus utile que s'acharner sur l'exercice, du moins dans un premier temps)
Bon courage

[Rdvn]

PS
Dans la référence donnée, pour l'exemple d'élément minimal, il faut se placer dans l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 2

[1tneuq]

Bonsoir,
Déjà merci pour votre réponse, j'ai compris pour l'histoire d'ordre partiel et j'ai également saisi les notions de plus petit et plus grand éléments et d'éléments minimaux et maximaux, mais pour ce qui est des majorants et minorants, ça reste assez flou. Dans la relation de mon énoncé, faut-il que je compare les éléments de F un à un en les plaçant dans "a ≤ c ∧ b ≤ d" ? Pour l'instant je trouve qu'il n'y a aucun plus petit élément et le plus grand serait (40,33), mais je suis incapable de donner les éléments minimaux et maximaux ainsi que les minorants et majorants, car je ne sais pas quelle méthode employer. Y'aurait-il une méthode pour trouver tous les éléments cités avant, et qui fonctionnerait quel que soit le type de la relation ((R,≤) ou (N∗,|) par exemple) ?

[Rdvn]

Bonjour
Vous avez déjà avancé largement, nous pouvons passer à l'étape "solution".
Méthode générale : beaucoup d'articles préconisent le diagramme de Hasse (chercher sur Internet),
j'avais employé une méthode analogue, un peu intuitivement.
Un élément est minimal si, à part lui même, aucun élément ne lui est inférieur, .
Ici (13,10) (27,1) (6,19)
(40,33) est bien le plus grand élément de F, comme tel il est le seul élément maximal.
Pour la question d) je pense qu'il faut l'interpréter par "combien y a t'il de majorant de F dans E"
Un majorant m de F est alors un élément de E tel que tout élément de F est inférieur à m.
Puisque (40,33) est plus grand élément de F, il faut et il suffit que (40,33) soit inférieur à m :
m=(x,y) avec
40<ou=x<ou=50
et
33<ou=y<ou=50
Il y a 11x18=198 majorants
Bon courage

[1tneuq]

Bonjour,
J'ai saisi toutes les notions et votre formulation "Un élément est minimal si, à part lui même, aucun élément ne lui est inférieur" m'a pas mal aidé pour comprendre comment trouver les éléments minimaux et maximaux d'une relation en général. Merci pour votre temps et vos explications.
Bonne journée