Analyse et relations binaires

[leofonte]

Bonsoir, quelques questions de mon DM sont un peu floues, cela fait longtemps que je n'ai pas vu ces notions... Donc j'ai besoin d'un peu d'aide si possible:)
Tout d'abord l'analyse, comment prouver que
?

Puis les relations binaires, j'ai vraiment du mal avec cette leçon... l'énconé est:
Soit un un ensemble et (E) l'ensemble des partitions de E. On définit dans (E) une relation R par:

Montrer que R est une relation d'ordre dans (E). Quels sont les plus petit et plus grand élements de (E) pour R?

Merci d'avance pour vos réponses...

[Ben314]

Salut,
Pour la question 1), si tu as vu les développement limités, c'est une bonne occasion pour s'en servir.
Sinon, il faut faire du "bricolage" pour faire apparaitre des dérivées (ou, ce qui revient à peu prés au même, utiliser la "règle de l'Hospital")

Pour la 2), il faut (évidement) montrer que la relation est réflexive, transitive et antisymétrique ce qui peut se faire "assez bètement", c'est à dire sans comprendre à quoi correspond la relation R.
Pour peut-être un peu voir à quoi correspond R et donc intuiter les réponses à la deuxième question, tu peut partir d'un ensemble à trois éléments E={a,b,c}, regarder quelles sont les partitions de E (sauf erreur, il y en a 5 en considérant bien sûr que l'ensemble vide ne doit pas faire partie d'une partition) puis regarder comment elles "s'ordonnent" via la relation R.

[leofonte]

C'est bien sympa de ta part de répondre. Je teste ça cette après midi, je te tiens au courant de ma réussite (ou de mon échec).

[leofonte]

Pour les partitions avec un ensemble E tq E:{a,b,c} , ce sont {a,b,c,ab,ac,bc}, ça fait 6. Donc je dois me tromper dans ma définition de partitions...

Par contre j'ai réussi pour la limite, mais un autre problème se pose. On définit la suite un, par un+1=f(un) avec f(x)=ln((e^(x)-1)/x). On nous propose de prouver que un>0. (Sachant que f(0)=0 donc u0 vraie.)

J'aimerai faire un raisonnement par récurrence, en transformant l'inégalité un>0 en un+1>0 en faisant subir à un les opérations pour qu'elle devienne un+1. Seulement au moment de passer aux logarithmes, le côté droit de l'inégalité donne ln(0). Et ce n'est pas très souhaitable...

Des idées?

Merci d'avance

[arnaud32]

il faut que la valeur de depart de ta suite u_n soit >0
si c'est le cas tu peux etudier le signe de x -> exp(x) - (1+x)

[Ben314]

Salut,
De façon un peu générale, lorsque tu as une suite U(n+1)=f(Un), ben ça incite fortement à commencer par faire le tableau de variations de la fonction x->f(x). Aprés, on a aussi souvent besoin de faire celui de x->f(x)-x qui donne des informations sur U(n+1)-Un...

Pour les partitions de {a,b,c}, ne pas oublier qu'une partition est un... ensemble d'ensemble (ou une suite d'ensemble, ça dépend si on considére que la partion de E en AuB est la même ou pas que la partition en BuA)
Les partition de E={a,b,c} sont donc :
Pi1={{a},{b},{c}} (on coupe E en trois sous parties)
Pi2={{a},{b,c}} (on coupe E en deux parties)
Pi3={{b},{a,c}} (idem mais pas avec les mêmes parties)
Pi4={{c},{a,b}} (idem)
Pi5={{a,b,c}} (on coupe E en une seule partie)
Dans cet exemple, tu as par exemple Pi2 R Pi1 : pour tout élement P2 de Pi2 (c'est à dire pour P2={a} ou bien P2={b,c}), il existe un élément P1 de Pi1 qui est contenu dans P2 (en effet P1={a} est un élément de Pi1 qui est contenu dans P2={a} et P1={b} est un élément de Pi1 qui est contenu dans P2={b,c})
Normalement, avec cet exemple, on voit assez clairement quel est le plus_grand/plus_petit élément pour la relation R.

[leofonte]

Pour l'analyse c'est parfait, le problème est réglé, merci encore;).
Pour les relations binaires, le cours sur cette leçon a été bref, j'ai encore du mal avec les notions de plus grand élément et de plus petit élément. Je connais la définition, mais j'ai du mal à me dire qu'il y a une relation de grandeur dans cet énoncé. Le plus grand élement serait dans votre exemple {b,c}?

[Ben314]

Pour l'analyse c'est parfait, le problème est réglé, merci encore;).
Pour les relations binaires, le cours sur cette leçon a été bref, j'ai encore du mal avec les notions de plus grand élément et de plus petit élément. Je connais la définition, mais j'ai du mal à me dire qu'il y a une relation de grandeur dans cet énoncé. Le plus grand élement serait dans votre exemple {b,c}?

Ben surement pas, vu que {b,c} c'est pas une partition de {a,b,c}.
Le plus grand (et le plus petit) élément, c'est évidement un des 5 éléments de Pi(E), c'est à dire c'est Pi1 ou Pi2 ou... ou Pi5.

[leofonte]

Le plus grand élément serait Pi1? (selon vos partitions)

[Ben314]

Effectivement.
Je viens aussi de me rendre compte que je me suis gourrré dans mon post de 13h02 : en fait c'est Pi1 R Pi2 que l'on a le pas le contraire (je me suis gourré de sens pour l'inclusion finale dans la définition de R) :
Pi1 R Pi2 car, pour tout élement P1 de Pi1 (c'est à dire pour P1={a} ou bien P1={b} ou bien P1={c}), il existe un élément P2 de Pi2 qui contient P1 (en effet P1={a} est contenu dans P2={a} de Pi2 et P1={b} ainsi que P1={c} sont contenus dans P2={b,c} de Pi2)

P.S.1 : J'aurais bien édité mon message de 13h02 pour éviter que d'autres ne lisent cette coquille, mais, je ne peut pas...

P.S.2 : Mon P.S.1 ne t'est pas destiné... :marteau:

[leofonte]

Rah j'ai toujours du mal, concrètement selon la définition le plus grand élément c'est quoi? Et le plus petit?

[Ben314]

Ben, c'est difficile d'être plus explicite comme terme :
Le plus grand élément d'un ensemble (ordonné) X, c'est (s'il existe) un élément de M qui est "plus grand" que tout les autres, c'est à dire tel que, pour tout x de E on ait x R M (si R est la relation d'ordre)
Idem pour le plus petit élément : c'est (s'il existe) un élément de m qui est "plus petit" que tout les autres, c'est à dire tel que, pour tout x de E on ait m R x (si R est la relation d'ordre)

Par exemple, pour la relation "divise" sur N* ( a divise b signifie qu'il existe un k dans Z tel que ka=b)
L'ensemble {9,6,18} admet un plus grand élément qui est 18 car 2, 6 et 18 divisent 18
Par contre cet ensemble n'admet pas de plus petit élément car aucun des trois ne divise à la fois 9, 6 et 18.

Pour ta relation d'ordre, il est facile de vérifier que le "plus petit élément" c'est la partition uniquement composée de singletons (dans mon exemple, c'est Pi1) et le "plus grand élément", c'est la partition composée uniquement de l'ensemble E (dans mon exemple, c'est Pi5)

[leofonte]

Parfait, merci beaucoup pour tant de patience.