étude fonction arctan

[sallluuutttal]

Bonsoir,

Je dois effectuer une étude de la fonction :

fa(x)= arctan ( ( a+x)/(1-ax) )

1- domaine de definition
2-periodicité de la fonction et fonction pair ou impair
3-limites aux bornes
4-sa dérivé
5-tableau de variations
6-asymptotes oblique, vertical et horizontal
7- représentation graphique

je ne sais pas vraiment comment m'y prendre du à la présence du "a" dans l'expression de la fonction

[Sa Majesté]

Oui eh bien, il faut y aller, ça ne se fera pas tout seul
Quel est le domaine de définition de la fonction arctan ?

[phyelec]

Bonjour,

tu fais comme si le "a" est un chiffre et tu fais les calculs, par exemple tu sais que arctan(z) est défini sur l'intervalle ]-π/2+, +π/2 [ , c'est à dire pour -π/2 <z<π/2 et tu sais que arctan(z), n'est pas définit pour -π/2 et pour +π/2
donc si z= ( a+x)/(1-ax) si tu écrit ( a+x)/(1-ax) =π/2 tu trouves pour quel valeur de a z=π/2 et tu l'exclus du domaine de définition.

[sallluuutttal]

merci beaucoup j'ai compris !!

[Carpate]

tu fais comme si le "a" est un chiffre et tu fais les calculs, par exemple tu sais que arctan(z) est défini sur l'intervalle ]-π/2+, +π/2 [ , c'est à dire pour -π/2 <z<π/2 et tu sais que arctan(z), n'est p

Faux !
Le domaine de définition de arctg(x) est R (tout entier !)
arctg(z) est donc défini pour
ll ne faut pas confondre ensemble (domaine) de définition d'une fonction et son ensemble image ...

Le domaine de définition de est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles existe donc il faut exclure x = ....

sssaaallluuut a beau avoir répondu :" merci beaucoup j'ai compris !!", j'ai bien peur qu'il soit parti sur une fausse piste !l

[sallluuutttal]

ah oui donc la fonction arctg est défini sur R mais je donne que des images sur l'intervalle ]-π/2 ; π/2[.
On a donc deux asymptotes horizontale pour
y1= -π/2
y2=π/2

Je pense aussi que pour trouver le domaine de definition, il faut exclure la valeur de x pour laquelle le dénominateur est nul.
soit x différent de 1 non ? Donc aura une asymptote vertical avec x=1 ? (ssi a=1)

Mais du coup le "a" sert à quoi dans tout ça ? Est ce qu'on le considère comme une constante ou sa valeur change ?

[sallluuutttal]

en soit si on prend n'importe quelle valeurs de a il faudra que x soit différents de 1/a

1-ax=0
x=1/a

dans ce cas dans le tableau de variation pour mettre la valeur interdite il suffit juste de mettre 1/a dans la ligne du x ?

et pour la dérivé j'ai trouvé 1/(1+x^2)
je voudrais savoir si selon vous cela est juste ?
(Je suis partit du principe que la dérivé de artn=1/(1+x^2), j'ai remplacé x^2 par (a+x)/(1-ax) puis j'ai développé)

[sallluuutttal]

ensuite j'ai trouvé que le signe de la dérivé est toujours positif donc que la fonction fa(x) est toujours croissante, et bien sûr avec la valeur interdite 1/a.

en (1/a)+, fa(x) tend vers π/2
en (1/a)-, fa(x) tend vers -π/2

est-ce que c'est bien ça ?

je n'ai pas encore calculé les limites en l'infini

[Sa Majesté]

en soit si on prend n'importe quelle valeurs de a il faudra que x soit différents de 1/a

Oui mais comme a est un paramètre qui peut prendre n'importe quelle valeur réelle, il faut aussi traiter le cas a=0

dans ce cas dans le tableau de variation pour mettre la valeur interdite il suffit juste de mettre 1/a dans la ligne du x ?

Oui

et pour la dérivé j'ai trouvé 1/(1+x^2)
je voudrais savoir si selon vous cela est juste ?
(Je suis partit du principe que la dérivé de artn=1/(1+x^2), j'ai remplacé x^2 par (a+x)/(1-ax) puis j'ai développé)

Non
Il faut utiliser le formule de la dérivée de fog

[Carpate]

Mais du coup le "a" sert à quoi dans tout ça ? Est ce qu'on v(x) =\frac{x+a}{1-ax}le considère comme une constante ou sa valeur change ?

a définit une famille de fonctions a est un paramètre.
Bien évidemment pour tracer le graphe de f, il faudrait fixer une valeur au paramètre a.
Par exemple pour a= 0 , on retrouve la fonction

et pour la dérivé j'ai trouvé 1/(1+x^2)
je voudrais savoir si selon vous cela est juste ?
(Je suis parti du principe que la dérivée de artn=1/(1+x^2), j'ai remplacé x^2 par puis j'ai développé)

Faux !
f(x) = u(x)°v(x)
avec et


Quand
On pourrait parler de points asymptotes.


Mon éditeur de texte me pourrit la vie, quand je fais une correction il va m'insérer un peu n'importe quoi à un autre endroit et je dois ensuite effacer cela . Je n'arrête pas!