Produits de deux fonctions intègrable !

[sandrine_guillerme]

Salut tout le monde ..

(tiens ça fais un moment !! )

vous manquez .. lol ..

Donc j'ai un petit soucie ..

Je souhaite montrer que le produit de f :[a,b]->R intègrable au sens de Riemann et g:[a,b]->R intègrable au sens de Riemann aussi .. est une fonction intègrable au sens de Riemann .. par la méthode la plus astucieuse possible ..

Pourriez vous m'aider donc ?
Merci d'avance ..

[aviateurpilot]

dit moi dabord c'est koi intègrable au sens de Riemann et je vais essayer de t'aider si je peux :lol4:

[jose_latino]

C'est plus facile démontrer que la somme des deux fonctions intégrables au sens de Riemann et le carré d'une fonction intégrable sont aussi intégrables au sens de Riemann.
Je crois que tu peux utiliser que

[sandrine_guillerme]

Salut ..

si tu veux la vraie définition est bien la suivante :
la fonction f:[a,b]->R une fonction bornée est intègrable au sens de Riemann si avec =sup I_(f) et I_ c'est l'ensemble des fonction en escalier qui minorent f et = inf I+(f) et I+ c'est l'ensemble des fonctions en escalier qui majorent f et la borne commune c'est l'intègrale de f .
et de là on en déduit le critère d'intègrabilité f:[a,b]->R bornée est intègrable au sens de Riemann ssi pour tout epsilon > 0 il existe h fonction en escalier qui minorent f et g fonction en escalier qui majorent f tq intégrale entre a et b g-h < epsilon ..

[sandrine_guillerme]

Très bonne idée ..

Moi j'avais plutot pensé à l'idée suivante :

d'après le critère que j'ai dis on vois immédiatement qu'une fonction est intègrable ssi ses point de discontinuité sont négligeable au sens de Riemann mais je n'arrive point a le démontrer ..

Vous voyez comment faire vous?

[tize]

C'est un peu long a expliquer il y a ceci regarde au chapitre caracterisation

[aviateurpilot]

[quote="sandrine_guillerme"]f:[a,b]->R bornée est intègrable au sens de Riemann ssi pour tout epsilon > 0 il existe h fonction en escalier qui minorent f et g fonction en escalier qui majorent f tq intégrale entre a et b g-h 0[/TEX]
il existe h fonction en escalier qui minorent f et k fonction en escalier qui majorent f
il existe h' fonction en escalier qui minorent g et k' fonction en escalier qui majorent g

donc hh' fonction en escalier qui minorent fg et kk' fonction en escalier qui majorent fg
et on a
sauf erreur
si j'ai fait une faute, c'est tres normal car la notion d'intergrabilité au sens de Riemann est nouveau pour moi

[sandrine_guillerme]

Yop.. C'est sympa de votre part ..

je parle aux deux homonymes (José) et aviateurpilot ..
j'ai bien tout ce qu'il faut maintenant (3 méthodes totalement différentes)

Merci beaucoup ..

:id:

[aviateurpilot]

Yop.. C'est sympa de votre part ..

je parle aux deux homonymes (José) et aviateurpilot ..

waw,
ma solution est vrai donc.
merci sandrine_guillerme pour m'avoir bien expliquer la notion d'intergrabilité au sens de Riemann:lol4:

[Yipee]

Si tu connais la caractérisation, il suffit de voir que l'ensemble des points de discontinuité de fg est inclus dans l'union des points de discontinuité de f et des points de discontinuite de g.

Et maintenant, tu peux essayer pour la composition....

[aviateurpilot]

Si tu connais la caractérisation

c'est quoi?

il suffit de voir que l'ensemble des points de discontinuité de fg est inclus dans l'union des points de discontinuité de f et des points de discontinuite de g.

ça, c'est tres clair

[sandrine_guillerme]

mais je t'en prie aviateurpilot !!! c'est sympa de m'aider ..

Yipee , oula!! tu m'a fais un peu de doute .. regarde cet exemple
surlequel c'est assez dur de voir ce que tu viens de me dire ..

[sandrine_guillerme]

aviateurpilot d'après ce que je t'ai dis on vois immédiatement qu'une fonction est intègrable ssi ses point de discontinuité sont négligeable au sens de Riemann ..

[jose_latino]

je viens de savooir c'est quoi intègrable au sens de Riemann
si j'ai bien compris voila ma solution:
soit
il existe h fonction en escalier qui minorent f et k fonction en escalier qui majorent f
il existe h' fonction en escalier qui minorent g et k' fonction en escalier qui majorent g

donc hh' fonction en escalier qui minorent fg et kk' fonction en escalier qui majorent fg
et on a
sauf erreur
si j'ai fait une faute, c'est tres normal car la notion d'intergrabilité au sens de Riemann est nouveau pour moi

Tu n'as pas considéré que les fonctions ne sont pas forcement positives.

[Yipee]

Il est élémentaire de voir que la réunion de deux ensembles négligeables est encore négligeable.

[sandrine_guillerme]

Tu n'as pas considéré que les fonctions ne sont pas forcement positives.

euh bah c'est pas grave ça ne changera strictement rien du tout dis donc! :we:

Yipee .. je suis désolée mais je pense que tu n'as pas répondu à ma question.. c'est entraitant l'exemple que je t'ai donné..

[aviateurpilot]

mais je t'en prie aviateurpilot !!! c'est sympa de m'aider ..

Yipee , oula!! tu m'a fais un peu de doute .. regarde cet exemple
surlequel c'est assez dur de voir ce que tu viens de me dire ..

tu peux regarder ma solution si j'ai pas fait une betise dans ce exemple
http://maths-forum.com/showthread.php?t=22060&highlight=continuit%E9

[sandrine_guillerme]

Bah si si je vois mais bon .. c'est pas ce que je veux en fait :triste:
si tu pourrais répondre ici stp par souci de clarté ..?

[aviateurpilot]

dans ce exemple le nombre de point de discontinuité n'est pas négligable
car si j'ai bien compris cette notion (negliger ...) n'ai pas negligable devant

mais pour ce exemple


le nombre de point de discontinuité est négligable

si A et B sont deux ensemble (A inclus dans B), quand, on peux dire que A est negligable devant B ?? :hein:

[sandrine_guillerme]

Exactement, c'est bien ce que Yipee vient de dire c'est super adorable merci beacoup .. je vais pas cesser de dire merci je suis désolée :hein:
A plustard .