RAISONNEMENT DIRECT

[Massi]

Bonjour,
En tant que etudiant de premiére année à l'université de filiére mathématique.J'ai etudié alors la LOGIQUE MATHEMATIQUE alors les type de raisonnement le plus simple et que je n'ai pas compris.

QUESTION:
POURQUOI ON ASSUME QUE L'ANTECEDENT P EST VRAI PUIS ON PROUVE QUE Q EST VRAI,Si on trouve la proposition Q est vrai apres avoir mis L'hypothese P est vrai, sa reste toujours une hypthese , Si P de base elle est fausse et nous ,nous l'avons supposer quelle est VRAI . ALORS LE RAISONNEMENT DIRECT EST INUTILE

Merci

[mathelot]

Bonsoir,
P =>Q est équivalente (a les mêmes valeurs de vérité) que non(P) ou Q

Quand on dit qu'une hypothèse est vraie, on cesse de considérer un prédicat et on travaille avec une constante V(pour vrai)

[lyceen95]

Si Massi n'a pas compris cette notion, je ne pense pas que parler de prédicat va lui ouvrir les yeux.

La logique mathématique, c'est la logique. La logique de Monsieur et Madame Tout le monde.

Si je suis à Paris, alors je suis en France. Quand je dis ça je dis une Lapalissade, une vérité... Cette phrase est vraie quoi qu'il arrive.

Tu ne sais pas où je suis ; peut-être que je suis à Paris (donc en France) , peut-être que je suis à Marseille , ou bien à Londres. Mais la phrase reste vraie, de toutes façons.

Si je suis en France, alors je suis à Paris. Cette phrase est fausse.

Peut-être que je suis à Paris, ou à Marseille, ou à Londres... peu importe. Cette phrase est fausse et restera fausse.

[jsvdb]

Bonsoir,

P =>Q est équivalente (a les mêmes valeurs de vérité) que non(P) ou Q

En fait, selon la logique utilisée, on peut même avoir mieux :

non(P) ou Q est la définition de P => Q

[Massi]

le probléme c'est pourquoi dans les raisonnement on se base sur des de simple FAIBLE "hypothese"

[lyceen95]

Quand je dis 'Si je suis à Paris, alors je suis en France', tu vois une FAIBLE hypothèse, à cause du mot SI au début de la phrase.
Alors je vais le dire autrement : 'Tous les gens qui sont à Paris sont en France'.
Je dis exactement la même chose, et ce n'est plus basé sur une FAIBLE hypothèse.

On peut aussi le dire autrement en reprenant la formulation de Jsvdb :
Tous les humains sont soit hors de Paris, soit en France.

[Massi]

Quand je dis 'Si je suis à Paris, alors je suis en France', tu vois une FAIBLE hypothèse, à cause du mot SI au début de la phrase.
Alors je vais le dire autrement : 'Tous les gens qui sont à Paris sont en France'.
Je dis exactement la même chose, et ce n'est plus basé sur une FAIBLE hypothèse.

mais toutes les methode de raisonnements ( récurance ,absurde,direct) se base sur des hypothese " SI" !!!

[jsvdb]

L'objet de P => Q est de démontrer que SI P est vraie alors Q est vraie.
Donc, ultérieurement, si dans une démonstration quelconque, tu démontres que P est vrai dans le contexte du problème qui te sera posé, alors tu en déduiras immédiatement Q.

Ex : Si une fonction de IR dans IR est uniformément continue alors elle est continue.
Dans la démonstration, on prend une fonction f que l'on munit de la propriété "être uniformément continue sur IR" puis on montre qu'elle est continue.

Si plus tard tu peux démontrer qu'une certaine fonction est uniformément continue sur IR, alors tu sauras qu'elle est continue.

mais toutes les méthodes de raisonnements ( récurrence ,absurde,direct) se base sur des hypothèses " SI"

En pratique, oui !

[lyceen95]

Je redis, ... parce que j'ai édité mon message en même temps que tu postais.

Si je suis à Paris, alors je suis en France', ça peut aussi se formuler : Tous les humains sont soit hors de Paris, soit en France.

Toutes les démonstrations seraient basées sur des hypothèses. Oui et non. Prenons par exemple une démonstration qui serait faite comme ça :
On veut montrer une propriété qui serait vraie pour tous les entiers. Et dans la démonstration, on dit : si n est pair alors ... bla bla , et la propriété est démontrée, et si n est impair, alors un autre raisonnement, et la propriété est également démontrée.

On a des SI dans notre démonstration, donc tu nous dis qu'on fait des hypothèses. Mais ce ne sont pas réellement des hypothèses, c'est un découpage en 2 groupes, les arguments qu'on va utiliser pour le 1er groupe ne sont pas les mêmes que pour le 2ème groupe , donc on sépare en 2 cas... ce ne sont pas des hypothèses, c'est juste une partition en 2 groupes plus faciles à traiter.

La majorité des démonstrations sont en fait sur cette logique.

Et de toutes façons, même si une démonstration s'appuie sur des hypothèses, au final, elle est tout aussi robuste qu'une démonstration qui ne s'appuie sur aucune hypothèse.

[pascal16]

Grilled : j'avais préparé un post avec une disjonction de cas

[hdci]

Et de toutes façons, même si une démonstration s'appuie sur des hypothèses, au final, elle est tout aussi robuste qu'une démonstration qui ne s'appuie sur aucune hypothèse.

Une démonstration qui ne s'appuie sur aucune hypothèse ? Je ne sais pas si cela existe. Il y a toujours des hypothèses sous-jacentes, les premières d'entre elles étant des axiomes, c'est-à-dire des propriétés admises comme vraies et formant le socle d'une théorie.
Exemple, les axiomes d'Euclide : entre autres, par deux points distincts passe une unique droite, par un point hors d'une droite passe une unique parallèle : on se sert de ces hypothèses, par exemple, pour démontrer que la somme des angles d'un triangle fait 180°, ou pour démontrer le théorème de Pythagore.
Mais si on choisit d'autres axiomes, on a d'autres résultats (par exemple en géométrie sphérique, il est aisé de faire un triangle qui a trois angles droits : sur Terre, on part du pôle nord, vers e sud pendant 10 000 km, on tourne à angle droit puis 10 000km, on tourne à angle droit puis 10 000km, et on se retrouve au pôle nord avec 3 angles droits).
On a donc bien : "si on admet les axiomes d'Euclide, alors la somme des angles dans un triangle fait 180°"...

[Massi]

Et de toutes façons, même si une démonstration s'appuie sur des hypothèses, au final, elle est tout aussi robuste qu'une démonstration qui ne s'appuie sur aucune hypothèse.

Une démonstration qui ne s'appuie sur aucune hypothèse ? Je ne sais pas si cela existe. Il y a toujours des hypothèses sous-jacentes, les premières d'entre elles étant des axiomes, c'est-à-dire des propriétés admises comme vraies et formant le socle d'une théorie.
Exemple, les axiomes d'Euclide : entre autres, par deux points distincts passe une unique droite, par un point hors d'une droite passe une unique parallèle : on se sert de ces hypothèses, par exemple, pour démontrer que la somme des angles d'un triangle fait 180°, ou pour démontrer le théorème de Pythagore.
Mais si on choisit d'autres axiomes, on a d'autres résultats (par exemple en géométrie sphérique, il est aisé de faire un triangle qui a trois angles droits : sur Terre, on part du pôle nord, vers e sud pendant 10 000 km, on tourne à angle droit puis 10 000km, on tourne à angle droit puis 10 000km, et on se retrouve au pôle nord avec 3 angles droits).
On a donc bien : "si on admet les axiomes d'Euclide, alors la somme des angles dans un triangle fait 180°"...

JE DIRAIS ALORS: si ses theoreme, les axiomes d'Euclide ..etc se sont formé a base de hypothese ,je dirais bien qu'ils sont FAUSSES car il sont formé juste par de simple hypothese (qui peut etre vrai ou fausse )qui ont besoin d'une preuve purement mathematique pour quelle soit juste ! !!

[pascal16]

Quand tu vois 5 doigts sur une main, c'est pas une hypothèse, c'est ce que tu constates.
La numération n'a pas besoin des axiomes de Peano pour exister, avoir le cadre de Peano permet de faire des démos qui ne s’arrêtent pas à 29 comme le niveau du CP des nombres.

[Tuvasbien]

Déjà une démonstration c'est quoi ? A partir de résultats que l'on sait justes, on construit un raisonnement logique pour arriver à une nouvelle conclusion. On peut construire ainsi des théorèmes, par exemple "si une fonction est dérivable alors elle est continue" qui prennent la forme "P=>Q". Dans ces théorèmes l'objet c'est pas de savoir si P est vraie ou fausse, mais c'est de dire que dans le cas où P est vraie, alors Q est aussi vraie. Par exemple la fonction carré est dérivable sur IR donc y est continue, mais la fonction valeur absolue est pas dérivable sur IR donc on ne peut rien dire. Jusque là je réponds pas à ta question mais là où je veux en venir c'est que tous ces théorèmes sont vraies car ils résultent d'assertions que l'on sait vraies. Il faut donc considérer des théorèmes de bases que l'on suppose vraies d'office, ce sont des axiomes comme par exemple l'axiomatique de Peano. Au fond savoir si ces axiomes sont vrais ou faux ça n'a pas de sens puisqu'on les supposes vrais, je pourrais aussi créer un système d'axiomes dans lequel 1+1=3, la question ne serait pas de savoir si c'est vrai ou pas puisque par nature cette égalité serait vraie, bien que ça contredise notre notion de 1 et 3. Autre chose, tu dis que les théorèmes qui prennent la forme "si ... alors" sont faux puisqu'ils commencent par un "si" et là tu sembles confondre deux choses : la conclusion du théorème n'est pas tout le temps vraie (car il n'est pas tout le temps applicable) mais son énoncé lui est vrai. Les théorèmes en "si ... alors ..." sont des implications "P=>Q" dire que le théorème est vrai ce n'est pas dire que Q est vrai, mais c'est dire que l'implication "P=>Q" est vraie.

[jsvdb]

Effectivement, un axiome est une proposition considérée comme vraie de façon intuitive (deux droites sécantes ne se coupent qu'en un point unique, (A ou A) => A )et dont on ne souhaite pas du tout démontrer la véracité par aucun argument, quel qu'il soit; c'est une proposition à laquelle on impose irréfragablement la valeur vraie.

Ainsi, en maths, un axiome devient ipso facto un théorème par la seule volonté de celui qui le pose. A celui-ci ensuite d'en assumer toutes les conséquences.