Exercice

[abraha11]

Bonjour
Montrer que : √(n/(n+2)) est un irrationnel (ou n est un entier
Naturel non nul).

[GaBuZoMeu]

Bel exercice. Qu'as-tu essayé ?
Moi, j'essaierais de raisonner sur la décomposition de en produit de facteurs premiers.

[abraha11]

Bonjour
Essayer par le raisonnement par l'absurde

[GaBuZoMeu]

Oui, bien sûr, on commence par supposer que est rationnel, et on essaie de montrer que c'est absurde.
Alors, ensuite ?

[abraha11]

Bonsoir
je bloque en : n*q^2 =(n+2)*p^2

[aymanemaysae]

Bonjour ;


Soit ; donc .

Supposons que est un nombre rationnel ;
donc il existe deux nombres entiers naturels premiers entre-eux tels que
et ; donc : ; donc : ; donc : ;
donc : ; donc : .

Avant de continuer , montrons que et sont premiers entre-eux .

Supposons que et ne sont pas premiers entre-eux , donc en notant
le PGCD( ; ) , avec , il existe deux nombres entiers naturels premiers
entre-eux et tels que : et ; donc on a : ,
donc et ne sont pas premiers entre-eux , donc et ne sont pas premiers entre-eux , ce qui contredit notre hypothèse, donc et sont premiers entre-eux , donc divise ou bien divise .

Tu peux conclure facilement .

[GaBuZoMeu]

Hum hum, tu n'es pas censé faire l'exercice à la place du questionneur, surtout pour faire la faute de raisonnement : a divise bc, donc a divise b ou a divise c

donc divise ou bien divise

[fastandmaths]

Bonjour ,
Une idée
On pourrait aussi faire autrement car il me vient que .
C’est exactement dire que dans la décomposition de n en facteurs premiers, un des facteurs (au
moins) apparaît `a une puissance impaire?
Si on fait le lien avec ce sujet, il est peut être alors possible de faire une démo autre que celle proposée.

[aymanemaysae]

Bonjour;


Merci GaBuZoMeu pour la remarque : je viens de corriger ma réponse .

Je m'excuse aussi d'avoir réagi à la place d'abraha11 .