Exercice 1S : Exercice de logique

[titemanon]

Bonjours à tous ! J'ai un problème avec un exercice de math qui fait parti des exercices présent dans mon DM. Je ne le comprend vraiment pas même après de nombreuses heures à chercher. Voici l'énoncé :

Voici une proposition : " Soit f une fonction dérivable sur R.
Si f une fonction polynôme du second degré, alors sa dérivée f' est monotone ".

1) Cette proposition est-elle vraie ? Justifier.
2) Énoncer la proposition réciproque.
3) Cette réciproque est-elle vraie ? Justifier.

J'ai cherché avant de demander de l'aide et voilà un peu ce que j'ai fait (je sais c'est pas grand chose) :

1) Oui, cette proposition est vraie on peut prendre pour exemple la fonction f(x)=3x² + 2x + 3 et ainsi sa dérivée f'(x) = 6x + 2
(je pense que c'est pas suffisant et je sais même pas si c'est correcte comme réponse)

2) Si la dérivée f' est monotone alors la fonction f est un polynôme du second degré.

3) Je sais pas y répondre du tout


Merci d'avance aux personnes qui répondront

[Carpate]

Bonjours à tous ! J'ai un problème avec un exercice de math qui fait parti des exercices présent dans mon DM. Je ne le comprend vraiment pas même après de nombreuses heures à chercher. Voici l'énoncé :

Voici une proposition : " Soit f une fonction dérivable sur R.
Si f une fonction polynôme du second degré, alors sa dérivée f' est monotone ".

1) Cette proposition est-elle vraie ? Justifier.
2) Énoncer la proposition réciproque.
3) Cette réciproque est-elle vraie ? Justifier.

J'ai cherché avant de demander de l'aide et voilà un peu ce que j'ai fait (je sais c'est pas grand chose) :

1) Oui, cette proposition est vraie on peut prendre pour exemple la fonction f(x)=3x² + 2x + 3 et ainsi sa dérivée f'(x) = 6x + 2
(je pense que c'est pas suffisant et je sais même pas si c'est correcte comme réponse)

2) Si la dérivée f' est monotone alors la fonction f est un polynôme du second degré.

3) Je sais pas y répondre du tout


Merci d'avance aux personnes qui répondront

La dérivée d'une fonction polynôme f du second degré est une fonction f' du premier degré dont la dérivée f'' est une constante donc la fonction f' est monotone
3) f' monotone : f''(x) = c (c constante)

[titemanon]

La dérivée d'une fonction polynôme f du second degré est une fonction f' du premier degré dont la dérivée f'' est une constante donc la fonction f' est monotone
3) f' monotone : f''(x) = c (c constante)

Je suis désolé mais je comprend pas la réponse à la question 3)
J'ai compris que f' monotone : f'(x) = c
ensuite je comprend pas les deux expressions suivantes :triste:

[Archibald]

Bonjour,

avant de commencer, tu dois te poser cette question: qu'est-ce qu'une fonction monotone ?

Tu sais qu'une fonction polynôme du second degré est du type : .
Sa dérivée est donc qui est une fonction affine. Or, l'une des sympathiques propriétés de la fonction affine est qu'elle est toujours...

[titemanon]

Un fonction affine est toujours monotone donc la dérivée d'un polynôme du second degré devient un fonction affine par conséquent elle est monotone. C'est ça ?
Sinon pour la question 3 j'ai réfléchi et j'en suis arrivé à la conclusion que la réciproque est fausse car si on prend f'(x) = 3 c'est une fonction monotone et pourtant on l'obtient en dérivant f(x) = 3x
Mais encore une fois je sais pas si c'est correcte comme réponse

[Archibald]

Attention à l'articulation de ton argumentation.

On sait qu'une fonction affine est toujours monotone, or la dérivée d'une fonction polynôme du second degré est une fonction affine. Alors, si f est une fonction polynôme du second degré, sa dérivée f' est toujours monotone.

serait plus rigoureux..

Quant à ta proposition réciproque (si f est une fonction monotone, alors sa primitive est une fonction polynôme du second degré), pour montrer qu'elle est fausse, il te suffit de trouver un exemple de fonction monotone dont la primitive n'est pas un polynôme de second degré. Tu n'as que l'embarras du choix..

N.b : ca ne marche pas avec les fonctions linéaires puisque leur dérivée est constante (donc non monotone)

[titemanon]

N.b : ca ne marche pas avec les fonctions linéaires puisque leur dérivée est constante (donc non monotone)[/quote]

Donc si je prend f(x) = 3x + 4 , la ça fonctionne ?

[Archibald]

Non plus car la dérivée d'une fonction affine est une constante.

Est-ce qu'on t'a déjà parlé de l'exponentielle ou du logarithme népérien ?

[titemanon]

non jamais

[Archibald]

Ah oui, tu es en première, donc ce sera pour l'année prochaine. Ce sont deux fonctions non polynomiales dont la dérivée est monotone [ln'(x)=1/x et e'(x)=e(x)]. Ce qui montre que la proposition réciproque n'est pas vraie.

[chan79]

salut
essaie avec

[hammana]

salut
essaie avec

Bonjour Chan
Je dirai plutôt