Exercice sur les ensembles

[akiwhite]

Bonjour,

Je bloque sur deux petites questions qui ne sont surement pas difficiles, veuillez pardonner mon niveau déplorable en maths ^^ :

-1) Montrer que AΔB = BΔA, puis que (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC) avec Δ la différence symetrique dans P(E)

-2)Montrer que A∩(BΔC) = (A∩B)Δ(B∩C)

1) Bon AΔB = BΔA c'est fait en développant et utilisant la commutativité, ensuite ben ... Je rame


2)En développant je ne trouve rien ..

Merci pour votre aide

[GaBuZoMeu]

Si tu savais associer à une partie de sa fonction caractéristique , ça roulerait tout seul (la différence symétrique correspond à l'addition des fonctions caractéristiques, l'intersection au produit). Mais je suppose que tu n'as pas encore vu ça.
Un moyen de faire est alors de se ramener à des formes normales disjonctives (réunion d'intersections de parties ou de leurs complémentaires). Par exemple :

[akiwhite]

Merci pour ta réponse mais en développant, les calculs deviennent immenses et je tombe dans un cul de sac !

Faut-il s'y prendre autrement ?

[GaBuZoMeu]

Persévère. Tu te décourages trop facilement.
Même pour moi qui ne suis pas un fan des calculs, ils ne sont pas si pénibles. À moins que tu t'y prennes vraiment mal. Montre-nous ce que tu as tenté.

[akiwhite]

En développant :

J'obtiens (AΔB)ΔC = (((B ∩ nC) U (nB ∩ C)) ∩ nA) U (((B U nC) ∩ (nB U C) ∩ A) avec nA=nonA ...

et AΔ(BΔC) = (((A ∩ nB) U (nA ∩ B)) ∩ nC) U (((A U nB) ∩ (nA U B) ∩ C)

Désolé je ne sais pas comment présenter ca sans être illisible

[akiwhite]

Ensuite je peux aller plus loin en ditribuant ...

(AΔB)ΔC = (((B ∩ nC) U (nB ∩ C)) ∩ nA) U (((B U nC) ∩ (nB U C) ∩ A)

= ((nA ∩ B ∩ nC) U (nA ∩ nB ∩ C)) U (((A ∩ (B U nC)) ∩ ((A ∩ (nB U C)))

[GaBuZoMeu]

Ça ressemble plutôt à , ce que tu calcules, non ? Et pourquoi t'arrêtes-tu en chemin ?

[fatal_error]

bj,

pour la une,
via table logique

En remarquant que la diff symétrique est le xor (je le représente par X)

Code: Tout sélectionner

A|B|C|AXB|BXC|(AXB)XC|AX(BXC)
0|0|0|  0|  0|      0|      0
0|0|1|  0|  1|      1|      1
0|1|0|  1|  1|      1|      1
0|1|1|  1|  0|      0|      0
1|0|0|  1|  0|      1|      1
1|0|1|  1|  1|      0|      0
1|1|0|  0|  1|      0|      0
1|1|1|  0|  0|      1|      1 


et on a bien les même lignes pour (AXB)XC et AX(BXC)

pour la 2), j'ai l'impression que l'égalité A∩(BΔC) = (A∩B)Δ(B∩C) est fausse:

Code: Tout sélectionner

A|B|C|BXC|A(BXC)|AB|BC|(AB)X(BC)
0|0|0|  0|     0| 0| 0|        0
0|0|1|  1|     0| 0| 0|        0
0|1|0|  1|     0| 0| 0|        0
0|1|1|  0|     0| 0| 1|        0
1|0|0|  0|     0| 0| 0|        0
1|0|1|  1|     1| 0| 0|        0
1|1|0|  1|     1| 1| 0|        0
1|1|1|  0|     0| 1| 1|        1



A(BXC) et (AB)X(BC) n'ont pas les même lignes

[GaBuZoMeu]

Il y a en fait une coquille dans la recopie de l'énoncé. L'égalité correcte est

(un cas particulier de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition).

[akiwhite]

Effectivement je me suis trompé en recopiant la question 2 ...

[akiwhite]

Ça ressemble plutôt à , ce que tu calcules, non ? Et pourquoi t'arrêtes-tu en chemin ?

Je ne trouve aucun lien entre les deux,

Et je ne sais pas comment continuer à développer !

[fatal_error]

wiki donne la def: https://en.wikipedia.org/wiki/Exclusive_or
mais je pense que ce qui est attendu est que tu te paluches la manipulation des U et ∩ en développant.
au pire du pire, je pense que tu peux simplifier les deux membres de l'égalité en somme de facteurs (genre F_1 UF_2 U F_3...) avec F_i que des "produits" d'intersections, etc, puis tu compares les deux formes simplifiées obtenues

[akiwhite]

bj,

pour la une,
via table logique

En remarquant que la diff symétrique est le xor (je le représente par X)

Code: Tout sélectionner

A|B|C|AXB|BXC|(AXB)XC|AX(BXC)
0|0|0|  0|  0|      0|      0
0|0|1|  0|  1|      1|      1
0|1|0|  1|  1|      1|      1
0|1|1|  1|  0|      0|      0
1|0|0|  1|  0|      1|      1
1|0|1|  1|  1|      0|      0
1|1|0|  0|  1|      0|      0
1|1|1|  0|  0|      1|      1 


et on a bien les même lignes pour (AXB)XC et AX(BXC)

pour la 2), j'ai l'impression que l'égalité A∩(BΔC) = (A∩B)Δ(B∩C) est fausse:

Code: Tout sélectionner

A|B|C|BXC|A(BXC)|AB|BC|(AB)X(BC)
0|0|0|  0|     0| 0| 0|        0
0|0|1|  1|     0| 0| 0|        0
0|1|0|  1|     0| 0| 0|        0
0|1|1|  0|     0| 0| 1|        0
1|0|0|  0|     0| 0| 0|        0
1|0|1|  1|     1| 0| 0|        0
1|1|0|  1|     1| 1| 0|        0
1|1|1|  0|     0| 1| 1|        1



A(BXC) et (AB)X(BC) n'ont pas les mêmes lignes

Merci pour ta réponse, je ne savais pas que l'on pouvait utiliser les tables de vérité (logique?) avec les ensembles.

[akiwhite]

wiki donne la def: https://en.wikipedia.org/wiki/Exclusive_or
mais je pense que ce qui est attendu est que tu te paluches la manipulation des U et ∩ en développant.
au pire du pire, je pense que tu peux simplifier les deux membres de l'égalité en somme de facteurs (genre F_1 UF_2 U F_3...) avec F_i que des "produits" d'intersections, etc, puis tu compares les deux formes simplifiées obtenues

Je crois bien que je ne sais pas du tout utiliser cette technique

[fatal_error]

Je crois bien que je ne sais pas du tout utiliser cette technique

que tu la connaisses ou pas, t'auras pas essayé bcp, en une minute

si je note AB pour dire A∩B, A+B pour AUB et pour le complémentaire de A
on remarque déjà que
membre de gauche (AΔB)ΔC:

tu fais même chose pour le membre de droite AΔ(BΔC) et tu trouves normalement la même chose

edit: j'ai juste rajouté des symboles intersections pour qu'on confonde pas

[akiwhite]

Je crois bien que je ne sais pas du tout utiliser cette technique

que tu la connaisses ou pas, t'auras pas essayé bcp, en une minute

si je note AB pour dire A∩B, A+B pour AUB et pour le complémentaire de A
on remarque déjà que
membre de gauche (AΔB)ΔC:

tu fais même chose pour le membre de droite AΔ(BΔC) et tu trouves normalement la même chose

edit: j'ai juste rajouté des symboles intersections pour qu'on confonde pas

A vrai dire je n'ai pas compris ce que tu voulais me faire essayer

[akiwhite]

Je crois bien que je ne sais pas du tout utiliser cette technique

que tu la connaisses ou pas, t'auras pas essayé bcp, en une minute

si je note AB pour dire A∩B, A+B pour AUB et pour le complémentaire de A
on remarque déjà que
membre de gauche (AΔB)ΔC:

tu fais même chose pour le membre de droite AΔ(BΔC) et tu trouves normalement la même chose

edit: j'ai juste rajouté des symboles intersections pour qu'on confonde pas

Finalement je n'ai pas compris

[fatal_error]

j'ai juste appliqué la diff symétrique sur et

[akiwhite]

j'ai juste appliqué la diff symétrique sur et

Ah oui pardon l'ecriture avec les + me perturbe my bad

[akiwhite]

j'ai juste appliqué la diff symétrique sur et

Il y a une petite erreur je crois le tout premier delta est en fait un inter