Relation d'ordre

[mehdi-128]

Bonsoir,

Dans , on définit la relation par :

1/ Montrer que est une relation d'ordre sur .
2/ Montrer que n'est pas totalement ordonné.
3/ On considère l'ensemble . Déterminer s'ils existent le plus grand élément et le plus petit élément de s'ils existent.
4/ On suppose qu'il existe tel que et . Montrer que ceci est absurde.

Pour la question 1 :
Réflexivité : c'est évident en prenant on a bien

Antisymétrie :
Soient tels que et
Donc tels que : et

Ça me donne : . Et là je bloque...

[henryallen]

Bonjour,

Une idée:

Soit y = 1, donc x = 1, et on a bien x = y.

Soit , donc puisque , forcément nn' - 1 = 0 (*), d'où nn' = 1, et puisqu'on est dans , n = n' = 1. En réutilisant par exemple , à nouveau on trouve bien x = y.

Bonne journée.

(*) Il est évident que si et que , on a d'où , quitte à passer par le logarithme pour s'en assurer.

[mehdi-128]

Ok merci mais je ne comprends ce que vous faites dans (*) et c'est quoi l'intérêt ?
Vous m'avez un peu perdu

[henryallen]

Je justifie que si a^b = 1, avec a différent de 1, alors b = 0. Ce n’est peut-être pas vraiment nécessaire de le justifier ici, mais dans le doute ...

(C’est un raisonnement par l’absurde, si nn’ est différent de 1, y^(nn’-1) ne peut être égal à 1)

[mehdi-128]

Ok j'aurais plutôt fait comme suit :

Soit et

Ainsi : comme on obtient soit

[mehdi-128]

Pour les question 2 et 3, j'ai trouvé ceci, pourriez vous me dire si c'est juste avant d'attaquer la 4 ?

2/ n'est pas en relation avec 3 et 3 n'est pas en relation avec 2 donc l'ensemble n'est pas totalement ordonné.

3/ , et .

donc 16 est le plus grand élément de .

donc 2 est le plus petit élément de .

[mehdi-128]

Vous avez raison, j'ai fait une erreur !

C'est . On en déduit que :

D'où et là j'ai du mal à finir pour trouver la contradiction

[henryallen]

1/ Oui, c’était là ce que j´évoquais à la fin de mon (*).
De plus, ne pas oublier de prouver la transitivité.

2/ C’est vrai.

3/ Oui.

4/ Je ne suis pas sûr de saisir le passage avec le « On en déduit que »: où est passé le 3 ? (Et dans la ligne précédente, l’un des 2 est en fait un 3).

[mehdi-128]

J'ai corrigé mon erreur dans mon précédent post.

Alors traitons la transitivité. Supposons tels que : et
On obtient avec

On a montré d'où la transitivité.

[henryallen]

D’accord pour la transitivité.

Toutefois, pour votre post précédent, je ne saisis toujours pas le « On en déduit que ».

[mehdi-128]

Vous avez raison, j'ai fait une erreur ! J'ai effacé le post sans faire exprès.

C'est . On en déduit que :

D'où et là j'ai du mal à finir pour trouver la contradiction

[henryallen]

z = 2^n et z = 3^n’, d’où 2^n = 3^n’.

Ici je partirais plutôt sur de l’arithmétique que sur du logarithme, à savoir la décomposition en facteurs premiers ou le théorème de Gauss (ou un de ses corollaires).

[mehdi-128]

Bien vu

On trouve que 2 divise donc ce qui est absurde car 2 et 3 sont premiers entre eux.

[LB2]

Ceci impliquant que ln(2/3) est un nombre irrationnel

[mehdi-128]

Ceci impliquant que ln(2/3) est un nombre irrationnel

Je n'ai pas compris comment vous obtenez ça pourriez-vous développer ?

[LB2]

Coquille : je voulais écrire ln(2)/ln(3). En effet, si ln(2)/ln(3) était rationnel, alors on aurait ln(2)/ln(3) = p/q, donc p*ln(3) = q * ln(2), et en passant à l'exponentielle, on aurait 2^q=3^p, ce qui est absurde