[algèbre] Applications linéaires non bijectives

[Anonyme]

Bonjour,

Avez-vous des exemples d'appli linéaires non bijectives ?

C'est pour essayer de trouver des contres exemples pr l'exo suivant (il faut
juste dire si l'assertion est vraie ou fausse et alors donner un contre
exemple ou démontrer) :

E, F sont 2 Kespaces-vectoriels
(u1, ...un) est une famille de vecteurs de E
f : E -> F est une appli linéaire

1/ si la famille (u1, ....un) est libre dans E alors la famille (f(u1), ...
f(un)) est libre dans F.
2/ si la famille (u1, ....un) est liéé dans E alors la famille (f(u1), ...
f(un)) est liéé dans F.
3/ si la famille (u1, ....un) est génératrice dans E alors la famille
(f(u1), ... f(un)) est génératrice dans F.
4/ si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille (u1,
.....un) est libre dans F.

Intuitivement (sans demo) vous diriez quoi ? moi y a juste la 1 j'ai
démontré que c'est vrai (si je me suis pas planté). mais le problème c'est
que j'e trouve pas d'applis non bijectives facilement pour trouver des
contres exemples.


Merci.

--
nico

[Anonyme]

enfin ya bien l'appli suivante :
f : F(R, R) -> F(R, R)
f(x) = x'

--
nico

nico wrote:
> Bonjour,
>
> Avez-vous des exemples d'appli linéaires non bijectives ?
>
> C'est pour essayer de trouver des contres exemples pr l'exo suivant
> (il faut juste dire si l'assertion est vraie ou fausse et alors
> donner un contre exemple ou démontrer) :
>
> E, F sont 2 Kespaces-vectoriels
> (u1, ...un) est une famille de vecteurs de E
> f : E -> F est une appli linéaire
>
> 1/ si la famille (u1, ....un) est libre dans E alors la famille
> (f(u1), ... f(un)) est libre dans F.
> 2/ si la famille (u1, ....un) est liéé dans E alors la famille
> (f(u1), ... f(un)) est liéé dans F.
> 3/ si la famille (u1, ....un) est génératrice dans E alors la famille
> (f(u1), ... f(un)) est génératrice dans F.
> 4/ si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille
> (u1, ....un) est libre dans F.
>
> Intuitivement (sans demo) vous diriez quoi ? moi y a juste la 1 j'ai
> démontré que c'est vrai (si je me suis pas planté). mais le problème
> c'est que j'e trouve pas d'applis non bijectives facilement pour
> trouver des contres exemples.
>
>
> Merci.

[Anonyme]

On 2005-02-18, nico wrote:
> C'est pour essayer de trouver des contres exemples pr l'exo suivant (il faut
> juste dire si l'assertion est vraie ou fausse et alors donner un contre
> exemple ou démontrer) :
>
> E, F sont 2 Kespaces-vectoriels
> (u1, ...un) est une famille de vecteurs de E
> f : E -> F est une appli linéaire
>
> 1/ si la famille (u1, ....un) est libre dans E alors la famille (f(u1), ...
> f(un)) est libre dans F.
> 2/ si la famille (u1, ....un) est liéé dans E alors la famille (f(u1), ...
> f(un)) est liéé dans F.
> 3/ si la famille (u1, ....un) est génératrice dans E alors la famille
> (f(u1), ... f(un)) est génératrice dans F.
> 4/ si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille (u1,
> ....un) est libre dans F.
>
> Intuitivement (sans demo) vous diriez quoi ? moi y a juste la 1 j'ai
> démontré que c'est vrai (si je me suis pas planté). mais le problème c'est
> que j'e trouve pas d'applis non bijectives facilement pour trouver des
> contres exemples.

Perdu. f: E -> F
x -> 0
est linéaire, et devrait t'aider.

--
Frédéric

[Anonyme]

nico a écrit:
> Bonjour,
>
> Avez-vous des exemples d'appli linéaires non bijectives ?

La fonction nulle.

> C'est pour essayer de trouver des contres exemples pr l'exo suivant (il faut
> juste dire si l'assertion est vraie ou fausse et alors donner un contre
> exemple ou démontrer) :

Mais ça, c'est plutôt pour fr.education.entraide.maths
--
Gilles

[Anonyme]

> Perdu. f: E -> F
> x -> 0
> est linéaire, et devrait t'aider.

ah oui :/, j'avais ca comme démo :

(u1, ...un) libre => il existe (a1...an) E R^n / a1u1+...anu2=0
avec a1=a2=...=an=0

f(a1u1+...anu2) = f(0)
or f linéaire
a1 f(u1) + ... an f(un) = 0

comme a1=a2=...=an=0 (f(u1)...f(un)) est libre

[Anonyme]

>> Avez-vous des exemples d'appli linéaires non bijectives ?
>
> La fonction nulle.

ok merci

>[color=green]
>> C'est pour essayer de trouver des contres exemples pr l'exo suivant
>> (il faut juste dire si l'assertion est vraie ou fausse et alors
>> donner un contre exemple ou démontrer) :
>
> Mais ça, c'est plutôt pour fr.education.entraide.maths[/color]

ok

[Anonyme]

donc dans ce cas 1/ est faux, 2/ est vrai (? est-ce que (0, 0, 0...) peut
etre considéré comme generatrice d'un espace ?) 3/ est faux et 4/ est faux
sauf si f bijective.

[Anonyme]

"nico" writes:

> Bonjour,
>
> Avez-vous des exemples d'appli linéaires non bijectives ?

f : x -> 0.

[Anonyme]

"nico" wrote:

> Bonjour,
>
> Avez-vous des exemples d'appli linéaires non bijectives ?
>
> C'est pour essayer de trouver des contres exemples pr l'exo suivant (il faut
> juste dire si l'assertion est vraie ou fausse et alors donner un contre
> exemple ou démontrer) :
>
> E, F sont 2 Kespaces-vectoriels
> (u1, ...un) est une famille de vecteurs de E
> f : E -> F est une appli linéaire
>
> 1/ si la famille (u1, ....un) est libre dans E alors la famille (f(u1), ...
> f(un)) est libre dans F.

Non. Contre-exemple:

f(x)=0 pour tous les x.

f(u_k) = 0 pour tous les k et une famille qui contient le vecteur 0
n'est pas libre.

> 2/ si la famille (u1, ....un) est liéé dans E alors la famille (f(u1), ...
> f(un)) est liéé dans F.

Oui. Par linéritè:

Soit u_k = Somme c_i*u_i
i=/=k

alors

f(u_k) = Somme c_i*f(u_i)
i=/=k

et par conséquent la famille f(u_i) est liée elle aussi.


> 3/ si la famille (u1, ....un) est génératrice dans E alors la famille
> (f(u1), ... f(un)) est génératrice dans F.

Non. Voir le contre-exemple pour 1)

> 4/ si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille (u1,
> ....un) est libre dans F.

Oui.

"si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille
(u1,....un) est libre dans F" est logiquement équivalent à

"si la famille (u1, ... un) est liée dans E alors la famille
(u1,....un) est liéé dans F"

parce que "lié" veut dire "non libre".

--
Horst

[Anonyme]

>> 1/ si la famille (u1, ....un) est libre dans E alors la famille[color=green]
>> (f(u1), ... f(un)) est libre dans F.
>
> Non. Contre-exemple:
>
> f(x)=0 pour tous les x.
>
> f(u_k) = 0 pour tous les k et une famille qui contient le vecteur 0
> n'est pas libre.
>
>> 2/ si la famille (u1, ....un) est liéé dans E alors la famille
>> (f(u1), ... f(un)) est liéé dans F.
>
> Oui. Par linéritè:
>
> Soit u_k = Somme c_i*u_i
> i=/=k
>
> alors
>
> f(u_k) = Somme c_i*f(u_i)
> i=/=k
>
> et par conséquent la famille f(u_i) est liée elle aussi.
>
>
>> 3/ si la famille (u1, ....un) est génératrice dans E alors la famille
>> (f(u1), ... f(un)) est génératrice dans F.
>
> Non. Voir le contre-exemple pour 1)
>
>> 4/ si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille
>> (u1, ....un) est libre dans F.
>
> Oui.
>
> "si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille
> (u1,....un) est libre dans F" est logiquement équivalent à
>
> "si la famille (u1, ... un) est liée dans E alors la famille
> (u1,....un) est liéé dans F"
>
> parce que "lié" veut dire "non libre".[/color]

ok merci beaucoup de votre aide.

[Anonyme]

"nico" a écrit dans le message de news:
4216010d$0$29164$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Avez-vous des exemples d'appli linéaires non bijectives ?
>
> C'est pour essayer de trouver des contres exemples pr l'exo suivant (il
> faut
> juste dire si l'assertion est vraie ou fausse et alors donner un contre
> exemple ou démontrer) :
>
> E, F sont 2 Kespaces-vectoriels
> (u1, ...un) est une famille de vecteurs de E
> f : E -> F est une appli linéaire
>
> 1/ si la famille (u1, ....un) est libre dans E alors la famille (f(u1),
> ...
> f(un)) est libre dans F.
> 2/ si la famille (u1, ....un) est liéé dans E alors la famille (f(u1), ...
> f(un)) est liéé dans F.
> 3/ si la famille (u1, ....un) est génératrice dans E alors la famille
> (f(u1), ... f(un)) est génératrice dans F.
> 4/ si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille (u1,
> ....un) est libre dans F.
>
> Intuitivement (sans demo) vous diriez quoi ? moi y a juste la 1 j'ai
> démontré que c'est vrai (si je me suis pas planté). mais le problème c'est
> que j'e trouve pas d'applis non bijectives facilement pour trouver des
> contres exemples.
>
>
> Merci.
>
> --
> nico
>
>
f (x,y)=(x,0) f : IR^2->IR^2
g(x,y,z)=(x,y,0) g : IR^3->IR^3
h(x,y,z)=(x,0,z) h : IR^3->IR^3

Pour trouver des contre-exemples, il faut que la dimension de E soit
différente de celle de l'image.

Bernard

[Anonyme]

Horst Kraemer wrote in message news:...
> "nico" wrote:[color=green]
> > 3/ si la famille (u1, ....un) est génératrice dans E alors la famille
> > (f(u1), ... f(un)) est génératrice dans F.
>
> Non. Voir le contre-exemple pour 1)[/color]

J'ajouterai que, malgré tout, (f(u1), ... f(un)) engendre l'image de F.

[Anonyme]

nico wrote:
> Bonjour,
>
> Avez-vous des exemples d'appli linéaires non bijectives ?
>
> C'est pour essayer de trouver des contres exemples pr l'exo suivant (il faut
> juste dire si l'assertion est vraie ou fausse et alors donner un contre
> exemple ou démontrer) :
>
> E, F sont 2 Kespaces-vectoriels
> (u1, ...un) est une famille de vecteurs de E
> f : E -> F est une appli linéaire
>
> 1/ si la famille (u1, ....un) est libre dans E alors la famille (f(u1), ...
> f(un)) est libre dans F.
> 2/ si la famille (u1, ....un) est liéé dans E alors la famille (f(u1), ...
> f(un)) est liéé dans F.
> 3/ si la famille (u1, ....un) est génératrice dans E alors la famille
> (f(u1), ... f(un)) est génératrice dans F.
> 4/ si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille (u1,
> ....un) est libre dans F.
>
> Intuitivement (sans demo) vous diriez quoi ? moi y a juste la 1 j'ai
> démontré que c'est vrai (si je me suis pas planté). mais le problème c'est
> que j'e trouve pas d'applis non bijectives facilement pour trouver des
> contres exemples.
>
>
> Merci.
>
Dans L(R^n, R^n), toute application de rang < n est non bijetive.
Exemple :
x'= x
y'= y
z'= 0
C'est un projecteur, de rang 2, et évidemment non bijectif.

[Anonyme]

"nico" wrote in message news:...
> Bonjour,
>
> Avez-vous des exemples d'appli linéaires non bijectives ?

Presques toutes (une application linèaire bijective, ça s'appelle
un isomorphisme, et c'est pas le cas géneral) Par exemple, déjà, si
les deux espaces n'ont pas la même dimension...

Pour des endomorphismes en dimension finie, c'est équivalent à
det(f)=0

C'est un peu plus dur (mais à peine) de donner des exemples (en
dimension infinie, forcément) d'endomorphismes injectifs mais non
surjectifs (P(X) ->XP(X) dans les polynômes) ou surjectifs mais non
injectifs (f -> dèrivèe de f dans l'ensemble des fonctions de classe C
infini)

>
> C'est pour essayer de trouver des contres exemples pr l'exo suivant (il faut
> juste dire si l'assertion est vraie ou fausse et alors donner un contre
> exemple ou démontrer) :
>
> E, F sont 2 Kespaces-vectoriels
> (u1, ...un) est une famille de vecteurs de E
> f : E -> F est une appli linéaire
>
> 1/ si la famille (u1, ....un) est libre dans E alors la famille (f(u1), ...
> f(un)) est libre dans F.
> 2/ si la famille (u1, ....un) est liéé dans E alors la famille (f(u1), ...
> f(un)) est liéé dans F.
> 3/ si la famille (u1, ....un) est génératrice dans E alors la famille
> (f(u1), ... f(un)) est génératrice dans F.
> 4/ si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille (u1,
> ....un) est libre dans F.
>
> Intuitivement (sans demo) vous diriez quoi ?

Ah, non, c'est à toi de deviner, là

moi y a juste la 1 j'ai
> démontré que c'est vrai (si je me suis pas planté). mais le problème c'est
> que j'e trouve pas d'applis non bijectives facilement pour trouver des
> contres exemples.

Si c'est juste pour ça, essaie comme contre-exemples les injections
(presque canoniques) R^p -> R^q (si p(x,y,0) ) (injectives non surjectives), et les
projections
genre (x,y,z)-> (x,y) (surjectives non injectives), ou (x,y,z)->
(x,y,0) si tu veux eds endomorphismes


>
>
> Merci.

[Anonyme]

nico wrote:

> Avez-vous des exemples d'appli linéaires non bijectives ?

Si c'est juste pour trouver des contre-exemples, il ne faut pas chercher
midi à quatorze heures et travailler d'emblée de la manière la plus
radicale possible, à savoir avec l'application nulle, càd. celle qui envoie
tout vecteur de E sur le vecteur nul de F. Elle est linéaire, et elle n'est
pas bijective (sauf dans le cas trivial où E est réduit au vecteur nul).

> 1/ si la famille (u1, ....un) est libre dans E alors la famille (f(u1),
> ... f(un)) est libre dans F.
> 2/ si la famille (u1, ....un) est liéé dans E alors la famille (f(u1), ...
> f(un)) est liéé dans F.
> 3/ si la famille (u1, ....un) est génératrice dans E alors la famille
> (f(u1), ... f(un)) est génératrice dans F.
> 4/ si la famille (f(u1), ... f(un))est libre dans E alors la famille (u1,
> ....un) est libre dans F.

L'application nulle te donne immédiatement un contre-exemple pour deux de
ces quatre propriétés ; les deux autres étant vraies. (Je te laisse voir
lesquelles.)

> (si je me suis pas planté)

Eh si...

LD