Bonjour,
J'ai cancelle mes messages pour faire un truc plus propres. J'ai donc un
systeme a resoudre. On suppose p << n. On veut avoir les V_ij et les E_i
(pour i,j <= n) en fonction des U_ij et des D_i (i,j <= n)
Mes equations sont:
Pour tout i,j <=n:
sum(k=1,p) U_ik D_k U_jk = sum(k=1,p) V_ik E_k U_jk
On a de plus pour tout i <= n
sum(k=1,p) (V_ik)^2 D_k = 1
et pour tout k <= p
sum(i=1,n)(V_ik)^2 = 1
Y a-t-il des methodes pour resoudre ce genre d'equations ?
Merci.
--
Nicolas, que ca n'a _aucun_ rapport avec une eventuelle diagonalisation
Systeme d'equations non-lineaires
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Re: Systeme d'equations non-lineaires
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:16
Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51240), a
écrit :
> Y a-t-il des methodes pour resoudre ce genre d'equations ?
Bon, écoute mon toutou, normalement, je mets une attention toute
particulière à lire tes posts, à y réfléchir et à y répondre... mais là
tu vois, tes notations, ben, çe me donne vraiment pas envie
.
--
Xavier, qui en plus, me suis peut-être fait plaquer par mon foncteur
normalement pleinement fidèle, alors bon.
écrit :
> Y a-t-il des methodes pour resoudre ce genre d'equations ?
Bon, écoute mon toutou, normalement, je mets une attention toute
particulière à lire tes posts, à y réfléchir et à y répondre... mais là
tu vois, tes notations, ben, çe me donne vraiment pas envie
.--
Xavier, qui en plus, me suis peut-être fait plaquer par mon foncteur
normalement pleinement fidèle, alors bon.
Re: Systeme d'equations non-lineaires
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:16
Le Sat, 22 Nov 2003 15:53:35 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:
> Bon, écoute mon toutou, normalement, je mets une attention toute
> particulière à lire tes posts, à y réfléchir et à y répondre... mais là
> tu vois, tes notations, ben, çe me donne vraiment pas envie.
Ok, je la refais différemment:
J'ai une matrice A de dimension n et une matrice B de dimension n+1.
Les deux matrices sont diagonalisables avec des sous-espaces propres de
dimension 1. La matrice A est la sous-matrice dans le coin supérieur
gauche de B.
Si je supprime la (n+1)e coordonnée des vecteurs propres de B dans la
décomposition en BON/matrice diagonale, j'obtiens A. Après, je veux
supprimer la plus petite valeur propre et le plus petit vecteur propre
associé pour avoir une matrice qui ressemble pas mal à celle de A (en
fait, c'est A - EXX' avec E la plus petite valeur propre et X le vecteur
propre associé auquel on a enlevé la (n+1)e coordonnée).
Je me retrouve donc avec:
- d'un côté la vraie diagonalisation de A
- de l'autre une décomposition de A+dA en une matrice diagonale et deux
matrices de vecteurs presque orthogonaux (le produit scalaire vaut
juste le produit des (n+1)e coordonnées supprimées) et presque normés.
Ma question est: quand n tend vers l'infini, est-ce qu'o peut dire
quelque chose sur la relation entre les vecteurs propres de A et les
vecteurs "presque propres" de A+dA; et de même pour les valeurs propres.
En fait, j'aimerais démontrer que coordonnée par coordonnée (par exemple
la 8e coordonnée du 10e vecteur propre), ça converge quand n tend vers
l'infini.
J'ai réussi à être plus clair?
--
Nicolas
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:
> Bon, écoute mon toutou, normalement, je mets une attention toute
> particulière à lire tes posts, à y réfléchir et à y répondre... mais là
> tu vois, tes notations, ben, çe me donne vraiment pas envie
.Ok, je la refais différemment:
J'ai une matrice A de dimension n et une matrice B de dimension n+1.
Les deux matrices sont diagonalisables avec des sous-espaces propres de
dimension 1. La matrice A est la sous-matrice dans le coin supérieur
gauche de B.
Si je supprime la (n+1)e coordonnée des vecteurs propres de B dans la
décomposition en BON/matrice diagonale, j'obtiens A. Après, je veux
supprimer la plus petite valeur propre et le plus petit vecteur propre
associé pour avoir une matrice qui ressemble pas mal à celle de A (en
fait, c'est A - EXX' avec E la plus petite valeur propre et X le vecteur
propre associé auquel on a enlevé la (n+1)e coordonnée).
Je me retrouve donc avec:
- d'un côté la vraie diagonalisation de A
- de l'autre une décomposition de A+dA en une matrice diagonale et deux
matrices de vecteurs presque orthogonaux (le produit scalaire vaut
juste le produit des (n+1)e coordonnées supprimées) et presque normés.
Ma question est: quand n tend vers l'infini, est-ce qu'o peut dire
quelque chose sur la relation entre les vecteurs propres de A et les
vecteurs "presque propres" de A+dA; et de même pour les valeurs propres.
En fait, j'aimerais démontrer que coordonnée par coordonnée (par exemple
la 8e coordonnée du 10e vecteur propre), ça converge quand n tend vers
l'infini.
J'ai réussi à être plus clair?
--
Nicolas
Re: Systeme d'equations non-lineaires
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:18
Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51257), a
écrit :
> Ok, je la refais différemment:
Bon, je me suis enfin décidé à lire ce truc.
> J'ai une matrice A de dimension n et une matrice B de dimension n+1.
> Les deux matrices sont diagonalisables avec des sous-espaces propres de
> dimension 1. La matrice A est la sous-matrice dans le coin supérieur
> gauche de B.
Ok.
> Si je supprime la (n+1)e coordonnée des vecteurs propres de B dans la
> décomposition en BON/matrice diagonale
Biiip... base ortho-normale ? Ça sort d'où ? Tu supposes A et B
symétriques ou un truc du genre ?
> , j'obtiens A.
Ah, euh... comprends pas du tout ce que tu veux dire.
> Après, je veux
> supprimer la plus petite valeur propre et le plus petit vecteur propre
> associé pour avoir une matrice qui ressemble pas mal à celle de A (en
> fait, c'est A - EXX' avec E la plus petite valeur propre et X le vecteur
> propre associé auquel on a enlevé la (n+1)e coordonnée).
Pourquoi la plus petite valeur propre ? Pourquoi ce ne serait pas la
plus grande valeur propre qu'il y a dans le coin en bas à droite de A ?
Et puis aussi, c'est quoi le vecteur propre associé ? Celui qui est de
norme 1 ?
> Je me retrouve donc avec:
>
> - d'un côté la vraie diagonalisation de A
> - de l'autre une décomposition de A+dA en une matrice diagonale et deux
> matrices de vecteurs presque orthogonaux (le produit scalaire vaut
> juste le produit des (n+1)e coordonnées supprimées) et presque normés.
Euh...
> Ma question est: quand n tend vers l'infini, est-ce qu'o peut dire
> quelque chose sur la relation entre les vecteurs propres de A et les
> vecteurs "presque propres" de A+dA; et de même pour les valeurs propres.
Oh, oui, sans doute... à moins que...
> J'ai réussi à être plus clair?
Hmmm... d'après toi ?
écrit :
> Ok, je la refais différemment:
Bon, je me suis enfin décidé à lire ce truc.
> J'ai une matrice A de dimension n et une matrice B de dimension n+1.
> Les deux matrices sont diagonalisables avec des sous-espaces propres de
> dimension 1. La matrice A est la sous-matrice dans le coin supérieur
> gauche de B.
Ok.
> Si je supprime la (n+1)e coordonnée des vecteurs propres de B dans la
> décomposition en BON/matrice diagonale
Biiip... base ortho-normale ? Ça sort d'où ? Tu supposes A et B
symétriques ou un truc du genre ?
> , j'obtiens A.
Ah, euh... comprends pas du tout ce que tu veux dire.
> Après, je veux
> supprimer la plus petite valeur propre et le plus petit vecteur propre
> associé pour avoir une matrice qui ressemble pas mal à celle de A (en
> fait, c'est A - EXX' avec E la plus petite valeur propre et X le vecteur
> propre associé auquel on a enlevé la (n+1)e coordonnée).
Pourquoi la plus petite valeur propre ? Pourquoi ce ne serait pas la
plus grande valeur propre qu'il y a dans le coin en bas à droite de A ?
Et puis aussi, c'est quoi le vecteur propre associé ? Celui qui est de
norme 1 ?
> Je me retrouve donc avec:
>
> - d'un côté la vraie diagonalisation de A
> - de l'autre une décomposition de A+dA en une matrice diagonale et deux
> matrices de vecteurs presque orthogonaux (le produit scalaire vaut
> juste le produit des (n+1)e coordonnées supprimées) et presque normés.
Euh...
> Ma question est: quand n tend vers l'infini, est-ce qu'o peut dire
> quelque chose sur la relation entre les vecteurs propres de A et les
> vecteurs "presque propres" de A+dA; et de même pour les valeurs propres.
Oh, oui, sans doute... à moins que...
> J'ai réussi à être plus clair?
Hmmm... d'après toi ?
Re: Systeme d'equations non-lineaires
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:18
Le Tue, 25 Nov 2003 19:38:09 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:
[color=green]
> > Si je supprime la (n+1)e coordonnée des vecteurs propres de B dans la
> > décomposition en BON/matrice diagonale
>
> Biiip... base ortho-normale ? Ça sort d'où ? Tu supposes A et B
> symétriques ou un truc du genre ?[/color]
Elles le sont de manière certaine.
>[color=green]
> > , j'obtiens A.
>
> Ah, euh... comprends pas du tout ce que tu veux dire.[/color]
Ce que je veux dire, c'est que dans la décomposition de B en QEQ^-1, si
tu supprimes la dernière coordonnée de chaque vecteur propre et que tu
refais le produit, tu vas obtenir la sous-matrice n*n en haut à gauche
de B, c'est-à-dire A (ou alors je me suis gourré dans mes calculs, mais
je crois pas).
> Pourquoi la plus petite valeur propre ? Pourquoi ce ne serait pas la
> plus grande valeur propre qu'il y a dans le coin en bas à droite de A ?
> Et puis aussi, c'est quoi le vecteur propre associé ? Celui qui est de
> norme 1 ?
Parce que j'ai supposé que je pouvais sans restriction ordonner mes
vecteurs propres de façon à avoir la plus grande valeur propre en haut à
gauche et la plus petite en bas à droite. Je peux pas?
[color=green]
> > Je me retrouve donc avec:
> >
> > - d'un côté la vraie diagonalisation de A
> > - de l'autre une décomposition de A+dA en une matrice diagonale et deux
> > matrices de vecteurs presque orthogonaux (le produit scalaire vaut
> > juste le produit des (n+1)e coordonnées supprimées) et presque normés.
>
> Euh...[/color]
Ca te plaît pas ou c'est juste pas clair?
> Oh, oui, sans doute... à moins que...
En effet, mais il me semblait que justement, le Mardi, ça marchait.
[color=green]
> > J'ai réussi à être plus clair?
>
> Hmmm... d'après toi ?[/color]
Je sens que j'ai été limpide mais comme ça écornerait ta vanité de me
l'accorder, tu t'enferres dans ton cloisonnement intellectuel.
Sinon, j'ai fait rapidement un PDF peut-être plus clair à
http://people.via.ecp.fr/~genji/divers/semisup.pdf (à l'origine, c'est
un mail, donc bon).
--
Nicolas
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:
[color=green]
> > Si je supprime la (n+1)e coordonnée des vecteurs propres de B dans la
> > décomposition en BON/matrice diagonale
>
> Biiip... base ortho-normale ? Ça sort d'où ? Tu supposes A et B
> symétriques ou un truc du genre ?[/color]
Elles le sont de manière certaine.
>[color=green]
> > , j'obtiens A.
>
> Ah, euh... comprends pas du tout ce que tu veux dire.[/color]
Ce que je veux dire, c'est que dans la décomposition de B en QEQ^-1, si
tu supprimes la dernière coordonnée de chaque vecteur propre et que tu
refais le produit, tu vas obtenir la sous-matrice n*n en haut à gauche
de B, c'est-à-dire A (ou alors je me suis gourré dans mes calculs, mais
je crois pas).
> Pourquoi la plus petite valeur propre ? Pourquoi ce ne serait pas la
> plus grande valeur propre qu'il y a dans le coin en bas à droite de A ?
> Et puis aussi, c'est quoi le vecteur propre associé ? Celui qui est de
> norme 1 ?
Parce que j'ai supposé que je pouvais sans restriction ordonner mes
vecteurs propres de façon à avoir la plus grande valeur propre en haut à
gauche et la plus petite en bas à droite. Je peux pas?
[color=green]
> > Je me retrouve donc avec:
> >
> > - d'un côté la vraie diagonalisation de A
> > - de l'autre une décomposition de A+dA en une matrice diagonale et deux
> > matrices de vecteurs presque orthogonaux (le produit scalaire vaut
> > juste le produit des (n+1)e coordonnées supprimées) et presque normés.
>
> Euh...[/color]
Ca te plaît pas ou c'est juste pas clair?
> Oh, oui, sans doute... à moins que...
En effet, mais il me semblait que justement, le Mardi, ça marchait.
[color=green]
> > J'ai réussi à être plus clair?
>
> Hmmm... d'après toi ?[/color]
Je sens que j'ai été limpide mais comme ça écornerait ta vanité de me
l'accorder, tu t'enferres dans ton cloisonnement intellectuel.
Sinon, j'ai fait rapidement un PDF peut-être plus clair à
http://people.via.ecp.fr/~genji/divers/semisup.pdf (à l'origine, c'est
un mail, donc bon).
--
Nicolas
Re: Systeme d'equations non-lineaires
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:18
Le Tue, 25 Nov 2003 19:38:09 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:
[color=green]
> > Si je supprime la (n+1)e coordonnée des vecteurs propres de B dans la
> > décomposition en BON/matrice diagonale
>
> Biiip... base ortho-normale ? Ça sort d'où ? Tu supposes A et B
> symétriques ou un truc du genre ?[/color]
Elles le sont de manière certaine.
>[color=green]
> > , j'obtiens A.
>
> Ah, euh... comprends pas du tout ce que tu veux dire.[/color]
Ce que je veux dire, c'est que dans la décomposition de B en QEQ^-1, si
tu supprimes la dernière coordonnée de chaque vecteur propre et que tu
refais le produit, tu vas obtenir la sous-matrice n*n en haut à gauche
de B, c'est-à-dire A (ou alors je me suis gourré dans mes calculs, mais
je crois pas).
> Pourquoi la plus petite valeur propre ? Pourquoi ce ne serait pas la
> plus grande valeur propre qu'il y a dans le coin en bas à droite de A ?
> Et puis aussi, c'est quoi le vecteur propre associé ? Celui qui est de
> norme 1 ?
Parce que j'ai supposé que je pouvais sans restriction ordonner mes
vecteurs propres de façon à avoir la plus grande valeur propre en haut à
gauche et la plus petite en bas à droite. Je peux pas?
[color=green]
> > Je me retrouve donc avec:
> >
> > - d'un côté la vraie diagonalisation de A
> > - de l'autre une décomposition de A+dA en une matrice diagonale et deux
> > matrices de vecteurs presque orthogonaux (le produit scalaire vaut
> > juste le produit des (n+1)e coordonnées supprimées) et presque normés.
>
> Euh...[/color]
Ca te plaît pas ou c'est juste pas clair?
> Oh, oui, sans doute... à moins que...
En effet, mais il me semblait que justement, le Mardi, ça marchait.
[color=green]
> > J'ai réussi à être plus clair?
>
> Hmmm... d'après toi ?[/color]
Je sens que j'ai été limpide mais comme ça écornerait ta vanité de me
l'accorder, tu t'enferres dans ton cloisonnement intellectuel.
--
Nicolas
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:
[color=green]
> > Si je supprime la (n+1)e coordonnée des vecteurs propres de B dans la
> > décomposition en BON/matrice diagonale
>
> Biiip... base ortho-normale ? Ça sort d'où ? Tu supposes A et B
> symétriques ou un truc du genre ?[/color]
Elles le sont de manière certaine.
>[color=green]
> > , j'obtiens A.
>
> Ah, euh... comprends pas du tout ce que tu veux dire.[/color]
Ce que je veux dire, c'est que dans la décomposition de B en QEQ^-1, si
tu supprimes la dernière coordonnée de chaque vecteur propre et que tu
refais le produit, tu vas obtenir la sous-matrice n*n en haut à gauche
de B, c'est-à-dire A (ou alors je me suis gourré dans mes calculs, mais
je crois pas).
> Pourquoi la plus petite valeur propre ? Pourquoi ce ne serait pas la
> plus grande valeur propre qu'il y a dans le coin en bas à droite de A ?
> Et puis aussi, c'est quoi le vecteur propre associé ? Celui qui est de
> norme 1 ?
Parce que j'ai supposé que je pouvais sans restriction ordonner mes
vecteurs propres de façon à avoir la plus grande valeur propre en haut à
gauche et la plus petite en bas à droite. Je peux pas?
[color=green]
> > Je me retrouve donc avec:
> >
> > - d'un côté la vraie diagonalisation de A
> > - de l'autre une décomposition de A+dA en une matrice diagonale et deux
> > matrices de vecteurs presque orthogonaux (le produit scalaire vaut
> > juste le produit des (n+1)e coordonnées supprimées) et presque normés.
>
> Euh...[/color]
Ca te plaît pas ou c'est juste pas clair?
> Oh, oui, sans doute... à moins que...
En effet, mais il me semblait que justement, le Mardi, ça marchait.
[color=green]
> > J'ai réussi à être plus clair?
>
> Hmmm... d'après toi ?[/color]
Je sens que j'ai été limpide mais comme ça écornerait ta vanité de me
l'accorder, tu t'enferres dans ton cloisonnement intellectuel.
--
Nicolas
Re: Systeme d'equations non-lineaires
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:19
Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:51416), a
écrit :[color=green][color=darkred]
>> > Si je supprime la (n+1)e coordonnée des vecteurs propres de B dans la
>> > décomposition en BON/matrice diagonale
>>
>> Biiip... base ortho-normale ? Ça sort d'où ? Tu supposes A et B
>> symétriques ou un truc du genre ?[/color]
>
> Elles le sont de manière certaine.[/color]
Ah, bon d'accord. Ben, il faut le dire.
> Ce que je veux dire, c'est que dans la décomposition de B en QEQ^-1, si
> tu supprimes la dernière coordonnée de chaque vecteur propre et que tu
> refais le produit, tu vas obtenir la sous-matrice n*n en haut à gauche
> de B, c'est-à-dire A (ou alors je me suis gourré dans mes calculs, mais
> je crois pas).
Ça, ça m'étonne très très beaucoup. Genre, je suis à peu près sûr
qu'en prenant une matrice au hasard, on trouve un contre-exemple.
Prends :
(1 0 1)
B = (0 2 1) et donc A = (1 0)
(1 1 3) (0 2)
Je te laisse faire le calcul mais c'est facile de voir qu'aucun vecteur
de la forme (1,0,a) ni de la forme (0,1,a) ne peut pas être vecteur propre
de B. B donc admet au moins un vecteur propre, et celui-ci ne se réduit
pas comme tu dis.
> Parce que j'ai supposé que je pouvais sans restriction ordonner mes
> vecteurs propres de façon à avoir la plus grande valeur propre en haut à
> gauche et la plus petite en bas à droite. Je peux pas?
Ben, ça dépend de ton problème... mais si tu me dis que au début que tu
vires la dernière ligne et la dernière colonne de B, il n'y a aucune
raison pour que ça corresponde à la plus petite valeur propre... déjà
qu'il n'y a aucune raison pour que ça corresponde à une valeur propre.
Bon, ton problème à l'origine, c'était quoi ? De comparer les valeurs
et vecteurs propres de A et de B, c'est bien ça ?
--
Xavier, qui commencerai à réfléchir quand j'aurais une question claire.
écrit :[color=green][color=darkred]
>> > Si je supprime la (n+1)e coordonnée des vecteurs propres de B dans la
>> > décomposition en BON/matrice diagonale
>>
>> Biiip... base ortho-normale ? Ça sort d'où ? Tu supposes A et B
>> symétriques ou un truc du genre ?[/color]
>
> Elles le sont de manière certaine.[/color]
Ah, bon d'accord. Ben, il faut le dire.
> Ce que je veux dire, c'est que dans la décomposition de B en QEQ^-1, si
> tu supprimes la dernière coordonnée de chaque vecteur propre et que tu
> refais le produit, tu vas obtenir la sous-matrice n*n en haut à gauche
> de B, c'est-à-dire A (ou alors je me suis gourré dans mes calculs, mais
> je crois pas).
Ça, ça m'étonne très très beaucoup. Genre, je suis à peu près sûr
qu'en prenant une matrice au hasard, on trouve un contre-exemple.
Prends :
(1 0 1)
B = (0 2 1) et donc A = (1 0)
(1 1 3) (0 2)
Je te laisse faire le calcul mais c'est facile de voir qu'aucun vecteur
de la forme (1,0,a) ni de la forme (0,1,a) ne peut pas être vecteur propre
de B. B donc admet au moins un vecteur propre, et celui-ci ne se réduit
pas comme tu dis.
> Parce que j'ai supposé que je pouvais sans restriction ordonner mes
> vecteurs propres de façon à avoir la plus grande valeur propre en haut à
> gauche et la plus petite en bas à droite. Je peux pas?
Ben, ça dépend de ton problème... mais si tu me dis que au début que tu
vires la dernière ligne et la dernière colonne de B, il n'y a aucune
raison pour que ça corresponde à la plus petite valeur propre... déjà
qu'il n'y a aucune raison pour que ça corresponde à une valeur propre.
Bon, ton problème à l'origine, c'était quoi ? De comparer les valeurs
et vecteurs propres de A et de B, c'est bien ça ?
--
Xavier, qui commencerai à réfléchir quand j'aurais une question claire.
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