Résolution de exp X = matrices rotat° à partir des complexes

[MoonX]

Bonjour,

Résoudre pour , pour ; où est la matrice de rotation d'angle

Comme on peut assimiler les complexes aux matrices de l'ensemble par un isomorphisme de corps, qui a la bonne idée d'être aussi un homéomorphisme pour les deux espaces munis de la norme usuelle, on peut trouver en passant pas les complexes les matrices de solutions de l'équation matricielle précédentes

En passant au déterminant dans l'équation matricielle, on trouve que la trace de est nulle. Après une disjonction de cas, on se rend compte que nécessairement, si est solution, est dans .

J'aimerais cependant savoir si on ne pouvait pas raisonner autrement pour montrer que les solutions danssont les seules

Je me demandais si il n'y avait pas un argument élégant (par exemple, sur le nombre de solutions possible, un propriété de structures...) qui permet de trivialiser cette réciproque. Parce que je trouve ça dommage que dans un sens, les propriétés sur les structures permettent de conclure, mais que dans l'autre il faut vérifier "à la main" que tout fonctionne ...

Je vous remercie par avance !

EDIT : après remarque, j'ai éclairci ma question. Remarquer que j'ai distingué et qui sont deux corps isomorphes mais "distincts" !

[aviateur]

Bjr
C'est nébuleux ce que tu racontes.
Il faut faire un gros effort pour comprendre ce qu'est l'équation
c'est quoi? une matrice de rotation. L'inconnue une matrice carrée d'ordre 2? On identifie l'équation à une équation dans ???
Admettons que tout cela soit éclairci. Tu affirmes que l'équation admet des solutions dans C que l'on sait déterminer. Et alors qu'est ce que cela veut dire la réciproque d'une équation??
L'élégance que tu cherches serait par commencer à exprimer tes questionnements clairement.
D'autre part je reste sceptique sur l'ensemble car exp(0)=1 et 1 peut être identifié à rotation d'angle

[MoonX]

Merci pour votre réponse.
Désolé, je m'étais tellement approprié l'énoncé que je pensais avoir fait un truc clair. Merci de la remarque, j'ai alors éclairci tout ça ! (dites moi si ce n'est pas suffisant).

Par réciproque, je pensais en fait au raisonnement par condition nécessaire et suffisante, mais en commençant par "Une condition suffisante est que X est dans C est de cette forme....". Réciproquement, X est nécessairement dans C.

Pour votre dernière remarque, il me semble que cela marche ; j'étaye donc encore les étapes :

Soit l'isomorphisme allant de sur C.
On peut montrer que c'est aussi un homéomorphisme (c'est un isomorphisme de R-ev en dimension finie).
On a donc, en supposant X dans C : .
On résout donc l'équation d'inconnue z, ensemble que je note et .

A propos de votre dernière remarque , exp(0) = 1 (<- égalité dans les complexes) , et exp(0) = matrice identité = matrice de rotation d'angle 0. (et 0 est bien de la forme 0 + 2ik\pi, donc dans l'ensemble des solutions associées à l'équation matricielle pour theta = 0)

[aviateur]

Bonjour, Oui maintenant c'est plus clair et je crois avoir compris ta question. L'équation on sait la résoudre dans C. La question est donc de savoir si la même équation admet d'autres solution dans l'espace des matrice carrées d'ordre 2 à coefficients réels (voire complexes).
Tu n'as pas de pb pour la réponse mais tu cherches alors un argument simple.

[MoonX]

Oui exactement. Je cherche un argument simple (même s'il est un peu avancé).

C'est pas possible d'imaginer un truc du type : les matrices de rotation donnent au plus un certain nombre de solutions, si il y avait d'autres solutions, on aurait ....

[aviateur]

Bonjour
En regardant ton problème on pourrait se poser la question des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels ou complexes X qui vérifient
Je ne vois pas d'énoncé bien particulier qui donne la réponse. Mais "à la main" il n'y a pas de pb on saura le faire.
D'autre par et est diagonalisable donc toute solution X est diagonalisable ... et ainsi de suite.
Finalement si tu arrives à répondre que toute solution est dans C avec les histoires de traces et autres, je ne vois
d'autre argument qui pourrait faire qu'on fasse autrement.
A mon avis tu laisses tomber..

[Ben314]

Salut,
Pour moi, si tu cherche des argument "un peu simple" (et surtout "un peu généraux"), c'est dans C qu'il faut se placer et pas dans R du fait que la matrice de ta rotation va être diagonalisable et qu'une matrice quelconque peut toujours être mise sous la forme où est formée de blocs de Jordan.
Et on a alors sachant que l'exponentielle d'un bloc de Jordan est facile à calculer et surtout que ça fait de nouveau (à un changement de base près) un bloc de Jordan de même nature.