Divisibilité: relation d'ordre bien fondé?

[audreyg]

Bonsoir!
J'ai un DM de logique, relations et théories des ensembles un brin compliqué.
J'ai réussis à venir à bout de la majorité des questions mais je sèche pour savoir si oui ou non la relation d'ordre "divise" | est un ordre bien fondé sur N.
Auriez vous des pistes pour m'aiguiller? Merci d'avance!
Audrey

[hdci]

Bonjour,

Il faut vérifier que c'est bien une relation d'ordre (assez facile).

La notion "d'ordre bien fondé" est me semble-t-il que pour toute partie non vide A il existe un élément de A tel qu'aucun autre élément de A ne lui est inférieur



Si c'est bien cette définition, on considère un ensemble non vide d'entiers : soit c'est {0} et c'est terminé, sinon on considère le plus petit entier non nul de cet ensemble : il n'est divisible par aucun autre entier de l'ensemble.

[audreyg]

Bonjour,
Merci! j'ai en effet réussis à montrer qu'il s'agit d'une relation d'ordre.
Si je comprend bien, en prenant {0}, il n'y a pas d'élément minimal car le plus petit élément de N par la relation divise est 1, donc 0 n'est pas un élément minimal, donc la définition n'est pas vérifiée sur N?

[hdci]

Est-ce que dans l'ensemble , il y a un élément autre que 0 qui vérifie ?

On en déduit donc que pour {0} la condition requise est vérifiée.

[audreyg]

D'accord je vois!
Mais lorsqu'on regarde A= {3, 4, 5, 6, 7} par exemple, le plus petit entier non nul de cet ensemble est 3, or 3 ne divise pas 7 par exemple, donc ce n'est pas un ordre bien fondé?

[hdci]

Vous confondez avec "bon ordre". Dans un ordre bien fondé, l'ordre n'est pas nécessairement total.

La question qu'on doit se poser, c'est "existe-t-il un élément qui n'est divisible par aucun autre". Dans l'ensemble A proposé, il y en a plusieurs : 3, 4, 5 et 7. Comme il suffit d'en trouver un...

Une relation de bon ordre c'est différent : dans une relation de bon ordre toute partie non vide admet un plus petit élément, ce qui signifie que tous les autres éléments lui sont comparables. On en déduit que la relation de divisibilité n'est pas une relation de bon ordre ; mais c'est bien une relation d'ordre bien fondé.

Pour le vocabulaire : un élément est di "plus petit élément" si tous les autres éléments de l'ensemble lui sont supérieur. Un élément est dit "minimal" si aucun des autres éléments ne lui est inférieur... Et comme on le voit ci-dessus, cela ne représente pas la même chose (un plus petit élément est évidemment minimal, mais la réciproque est fausse).

[audreyg]

Je comprend mieux! Je confondais les deux en effet,
j'ai donc rédigé:
Le plus petit entier naturel non nul de l'ensemble A n'est divisible par aucun autre entier naturel de A que lui-même. Par définition il s'agit d'une relation d'ordre bien fondé.