Ordre bien fondé

[supermyz]

j'en ai compris rien, c'est quoi "une suite infinie strictement décroissante d'élément de E"

si par exemple, un ensemble (E,;)), comment je peux le prouver c'est un ordre bien fondé

merci d'avence

[El_Gato]

Salut,

Une relation d'ordre sur un ensemble E est:

- un ordre bien fondé (on dit aussi artinien) s'il n'admet pas de suite infinie strictement décroissante,
- un bel ordre s'il est bien fondé et si les ensembles d'éléments incomparables sont finis,
- un bon ordre s'il est bien fondé et total.

Une suite infinie strictement décroissante c'est une suite d'éléments de E telle que .

Les trois conditions sont de plus en plus restrictives.

Le premier type permet des démonstrations par récurrence:
Proposition
Une propriété P est inductive si P(y) vrai pour tout y < x implique P(x) vrai. Pour que les propriétés inductives soient vraies dans E, il faut et il suffit que l'ordre soit bien fondé.

On peut caractériser les beaux ordres de la façon suivante:

Théorème
Soit E un ensemble ordonné par <. Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) (E,<) est un bel ordre.
(ii) Toute partie non vide contient un nombre fini d'éléments minimaux.
(iii) Toute suite d'éléments de E contient deux éléments comparables (l'un est inférieur ou égal à l'autre).
(iiii) Toute suite d'éléments de E contient une sous-suite strictement croissante.

[supermyz]

:id: :id: :id: merci~~~~~ mais j'ai encore des questions

une relation d'ordre,est t elle un bon ordre?
donc l'ordre naturel sur ;) est un bon ordre, mais ce n'est pas un ordre bien fondé sur ;) ,parce que Z qui contien les nombres négatifs. c'est vrai que je dit comme ça?
soit un ensemble E et une fonction sur lui même, x un élément de E, si on a x=f(x), donc x est un point fixe de f, c'est vrai ou pas?
soit un ensemble ordonné (E,;)), si ;) est:;)refflexive ;)antisymatrique ;)transitive ;)pour chaque x et y ,x;)E et y;)E-->x;)y ou y;)x, donc c'est un ensemble complet, c'est vrai ou pas?

[El_Gato]

une relation d'ordre,est t elle un bon ordre?

En général, non, même quand l'ordre est total: la relation d'ordre naturelle sur IR n'est pas un bon ordre.

donc l'ordre naturel sur ? est un bon ordre, mais ce n'est pas un ordre bien fondé sur ? ,parce que Z qui contien les nombres négatifs. c'est vrai que je dit comme ça?

Oui, l'ordre naturel sur Z contient évidemment une suite infinie strictement décroissante, il n'est pas bien fondé.

L'ordre naturel sur N est un bon ordre.

soit un ensemble E et une fonction sur lui même, x un élément de E, si on a x=f(x), donc x est un point fixe de f, c'est vrai ou pas?

Oui.

soit un ensemble ordonné (E,?), si ? est:?refflexive ?antisymatrique ?transitive ?pour chaque x et y ,x?E et y?E-->x?y ou y?x, donc c'est un ensemble complet, c'est vrai ou pas?

La définition que tu donnes est simplement celle d'un ordre total. Il n'est pas nécessairement complet.

Un ensemble partiellement ordonné est complet s'il possède un plus petit élément, et si toutes les parties totalement ordonnées ont une borne supérieure.

De plus, il existe des ensembles ordonnés non complets dont l'ordre est bien-fondé.

Finalement, c'est assez compliqué tout çà... Dans quel contexte as-tu besoin de cela ? Pour un cours sur les bases de Gröbner ou pour la théorie des CPO en sémantique dénotationnelle des langages de programmation ?

[supermyz]

:hein: :hein: c'est le cours de fondement informatique,c'est vraiment dur pour moi!

un ensemble complet est il un ensemble bien fondé?par la définition d'ensemble complet:toute partie de cet ensemble ordonné admet une borne supérieur, ça veut dire il n'y a pas d'une suite infinie décroissante d'élément, la suite est finie,donc je dis qu'il est un ensemble bien fondé aussi, c'est vrai?

[gauss]

:--: :stupid_in :mur: :mur: :mur: :mur: :mur: :mur: :mur: :mur: