Ensemble fondé

[magyy]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à faire la preuve de la proposition suivante:
Si(E,<=) est bien fondé et si F est une partie non vide de E, alors (F,<=) est bien fondé.

[mrif]

Quelle est la définition que tu as d'un ensemble bien fondé?

[magyy]

Un ensemble E munie de <= est bien fondé s' il n'existe pas de suite infinie d'éléments de E strictement décroissante.

[mrif]

Tu appliques cette définition à F:
Si F n'est pas bien fondé alors il existe une suite infinie d'éléments de F strictement décroissante. Cette suite est également une suite de E, donc E n'est pas bien fondé.
Tu conclus.

[magyy]

Ok,en fait mon problème c'est que je ne sais pas comment montrer qu'un ensemble est bien fondé

[mrif]

Si A et B sont 2 propositions.

Montrer que A implique B revient à montrer que Non(B) implique Non(A) c'est ce qu'on appelle une contraposée.

Dans notre situation on a montré que si F n'est pas bien fondé alors E n'est pas bien fondé, et en prenant la contraposée on en déduit que si E est bien fondé alors F est bien fondé.

Si tu as du mal à comprendre ce raisonnement tu peux utiliser le raisonnement par l'absurde: pour cela tu supposes que F n'est pas bien fondé et E bien fondé et tu arrives à la contradiction "E est à la fois bien fondé et n'est pas bien fondé"

[magyy]

Je comprends mieux.
Merci!