Complexes et puissance n-ième (PCSI)

[JuJuDEL]

Bonjour,
Je suis en 1ère année de prépa PCSI et j'ai un DM de math pour la rentrée dans lequel je bloque un peu.

Soit n appartient à N*.

1. Résoudre en fonction de phi l'équation (1+iu)/(1-iu)=exp(i*phi) d'inconnue u.
[ Je suis pas complètement sûre que c'est ce qu'il fallait chercher mais j'ai trouvé : u= -i(exp(i*phi)-1)/(exp(i*phi)+1) ]

2. Montrer, sans les calculer, que les solutions de l'équation ((1+iu)/(1-iu))^n=1 d'inconnue u, sont réelles.

3. Résoudre ((1+iu)/(1-iu))^n=1. On précisera en particulier le nombre de solutions en fonction de n.

Merci d'avance pour votre aide !

[Sa Majesté]

Bonjour,
Je suis en 1ère année de prépa PCSI et j'ai un DM de math pour la rentrée dans lequel je bloque un peu.

Soit n appartient à N*.

1. Résoudre en fonction de phi l'équation (1+iu)/(1-iu)=exp(i*phi) d'inconnue u.
[ Je suis pas complètement sûre que c'est ce qu'il fallait chercher mais j'ai trouvé : u= -i(exp(i*phi)-1)/(exp(i*phi)+1) ]

Salut,
1) il faut discuter suivant les valeurs de phi (quid de phi = pi (mod 2pi)) ?
2) l'expression se simplifie en passant à l'angle moitié (phi/2)

[JuJuDEL]

Salut,
Merci beaucoup pour votre réponse.
Du coup, j'ai trouvé phi défini sur [0 ; 2pi[, et u=tan(phi/2)

[aviateur]

Bonjour ça ne te gêne pas de répondre cela?

Du coup, j'ai trouvé phi défini sur [0 ; 2pi[, et u=tan(phi/2)

[JuJuDEL]

Bonjour ça ne te gêne pas de répondre cela?

Du coup, j'ai trouvé phi défini sur [0 ; 2pi[, et u=tan(phi/2)

Pourquoi ?

[aviateur]

Bon,
d'abord l'énoncé ne le précise pas mais on suppose que est réel.
Ensuite ça ne change rien à la généralité de supposer que

Maintenant il faut faire attention à ce que l'on dit. On ne déduit pas que vu que c'est une hypothèse.
Il s'agit ici de résoudre une équation donc si on déduit quelque chose d'un raisonnement ou d'un calcul c'est la solution...
Et puis à ma connaissance na pas de sens pour tout

[Carpate]

Variante :

En notant pour
On sait que :



a) :
b) :
d'où :

[aviateur]

@carpate J'appelle pas ça une variante mais une démonstration tirée par les cheveux.
En effet, à moins de s'appeler Ramanujan et qu'une déesse indienne te souffle des idées de génie pendant la nuit, penser à poser p= sous entend qu'on a déjà fait le calcul autrement.
Bon Jujudel a trouvé (sans trop faire attention aux détails et je lui laisse le soin de corriger ces détails)

Donc

[JuJuDEL]

Merci @aviateur pour ta réponse.
Je vais faire attention pour la rédaction . Phi ne peut pas être égale à pi.

Pour la question 3, est-ce qu'il faut utiliser les racines n-ième ou pas ? Parce que je ne comprends pas comment trouver toutes les solutions...

Merci

[aviateur]

Phi ne peut pas être égale à pi oui je n'ai pas fait le calcul mais à un moment tu as divisé par
qui ne peut pas être égal à zéro donc quand
Mais quand il faut tout de même dire si l'équation à une solution. C'est important surement pour la suite.

Oui pour la dernière question il faut faire un calcul explicite.

On pose comme inconnue auxiliaire z=(1-i u)/(1+ iu).
Donc l'équation devient z^n=1 dont on connait bien les solutions (racines n-ième de l'unité) :

En posant on remarque que et on finit l'exercice avec la première question en prenant garde de bien avoir répondu au cas particulier

[Carpate]

@carpate J'appelle pas ça une variante mais une démonstration tirée par les cheveux.
En effet, à moins de s'appeler Ramanujan et qu'une déesse indienne te souffle des idées de génie pendant la nuit, penser à poser p= sous entend qu'on a déjà fait le calcul autrement.

Bon, ma démonstration ne te plaît pas, tant pis !
Je ne sais pas ce que tu entends par "démonstration tirée par les cheveux" mais une démonstration est correcte ou incorrecte.
Dans ma lointaine jeunesse on connaissait les formules exprimant cos x et sin x en fonction de la tangente de l'arc moitié .
D'obtenir ces 2 expressions et , ça a tout de suite fait tilt ! (sans avoir "déjà fait le calcul autrement").

[aviateur]

@carpate
Oui excuses moi, tu as raison. J'ai cru que tu étais parti de la solution donnée plus haut.