N ieme puissance d'une matrice

[buuu]

Bonjour, je bloque sur la matrice suivante B=0.5* A. A étant

0 0 1
1 0 1
0 1 0

(la norme étant endomorphisme de R^3)

la question est de justifier la limite de B^n lorsque n tend vers l'infini

je bloque un peu, et je ne trouve pas l'astuce. je trouve que par exemple: A^3=A+I . J'ai l'impression que ca peut me donner la solution. Qu'en pensez vous? Merci

[zygomatique]

salut



distinguer suivant que k est multiple de 3 ou non ....

[buuu]

Oui, mais je ne vois pas commencer ca pourrait m'aider.

Donc si je suis ta solution: n=3k , n=3k+1, n=3k+2

Si par exemple, multilple de 3 donc n=3k:, on a:

A^n= (A^3)^k= (A+I)^k = (formule du binome) ... je ne vois pas où ca peut me mener...

[DamX]

Oui, mais je ne vois pas commencer ca pourrait m'aider.

Donc si je suis ta solution: n=3k , n=3k+1, n=3k+2

Si par exemple, multilple de 3 donc n=3k:, on a:

A^n= (A^3)^k= (A+I)^k = (formule du binome) ... je ne vois pas où ca peut me mener...

Bonjour,

Il y a moyen de calculer exactement l'expression de A^k mais ça risque d'être un peu laborieux et rouleau compresseur par rapport au résultat recherché (la limite de B^n).

En effet d'avoir remarqué que A^3 = A+I est le pivot de la démo quelle qu'elle soit. Il y a au delà de ça beaucoup de manière de procéder je pense.

Une idée générale pourrait être la suivante : grâce à cette relation remarquer que toutes les puissances de A sont en fait une somme de termes de A^2, de A et de I, pondérés par des coefficients entiers positifs :

Partant de là tu peux trouver des relations de récurrence simples reliant les suites alpha, beta et gamma. On pourrait ainsi les calculer exactement et donc trouver l'expression de A^n puis de B^n et de calculer sa limite.
Mais pas besoin de se taper tous les calculs qui seront assez fastidieux.

Déjà elles sont croissantes positives (assez évident), et une idée pour s'en sortir à peu de frais peut être d'estimer leur croissance.

Pour t'aider tu peux montrer que tu as en fait la relation suivante : . Je te laisse continuer, cette relation suffit pour estimer (en grand O par exemple) la croissance de alpha, ainsi par voie de conséquence celles de beta et gamma, et conclure alors que B^n va converger vers 0 (en intuition les coefficients de A^n croissent, mais pas assez vite pour contrer le (1/2)^n contenu dans B^n).

Damien

[buuu]

Merci beaucoup pour l'astuce!

[fatal_error]

salut,

un autre truc un peu overkill
en prenant norme2 matricielle pour B, on sort le 0.5

et le polynome caractéristique de A'A vaut

et la valeur max de lambda pour vaut

et donc pour B :

et donc

et donc B est la matrice nulle car les coeff de B_0 sont tous positifs (et son coeff max vaut 0 par équivalence des normes: a*norme1(B^n) <= norme2(B^n) avec a non nul implique norme1(B^n)==0)