Exercice sur les complexes - PCSI

[Noxx]

Bonsoir,

Après des recherches très peu fructueuses sur cet exercice, j'ai décidé de poster mes déboires ici pour tenter d'obtenir de l'aide. J'ai cherché tout l'après-midi, sans réel succès - certes, avec un peu de distractions aux alentours :marteau: -.

Voici l'exercice :

"Partie A.

On considère dans C l'équation de degré trois
[CENTER](E) w^3+aw^2+bw+c=0[/CENTER]
avec (a,b,c) réels.
En posant w=z+h, et en choisissant h convenablement, montrer que (E) est équivalente à une équation
[CENTER](E') z^3+pz+q=0[/CENTER]
avec (p,q) réels.

Partie B : résolution de l'équation réduite.

1. On suppose qu'il existe z complexe solution de (E').
(a) Justifier l'existence de deux complexes u et v tels que
[CENTER]u+v=z
uv=-p/3[/CENTER]

(b) Montrer que u^3 et v^3 sont alors les racines de l'équation
[CENTER](1) Z^2+qZ-p^3/27=0[/CENTER]

2. Soient U et V les racines de (1). On ne demande pas de déterminer U et V.
(a) Calculer UV et en déduire qu'il existe deux nombres complexes u1 et v1 tels que
[CENTER]u1^3=U
v1^3=V
u1v1=-p/3[/CENTER]

(b) Montrer que si z est une racine de (E'), alors
[CENTER]z appartient à {z1=u1+v1 , z2=u1j^2+v1j , z3=u1j+v1j^2}[/CENTER]

(c) Montrer que réciproquement, z1, z2 et z3 sont racines de (E').

Partie C : exemple.

On considère l'équation
[CENTER](E) x^3+3x^2-48x-154=0[/CENTER]
que l'on veut résoudre dans C.
1. Réduire l'équation (E). On trouvera l'équation
[CENTER](E') x^3=51x+104[/CENTER]
2. Déterminer les racines U et V de l'équation (1) d'ordre deux associée à (E').
3. Calculer (4-i)^3 et (4+i)^3. En déduire une racine de (E').
4. Résoudre (E') puis (E)."

Je sais que ça fait un bon pâté, mais je ne m'en sors pas...

Pour la partie A, tout va bien ! Après multiples calculs, j'arrive à
[CENTER](E') z^3+(b-a^2)z+(c-2a^3/9-ab/3=0[/CENTER]
avec donc p=b-a^2 et q=c-2a^3/9-ab/3.

J'espère qu'au moins ça est correct, sinon je ne sais pas ce que je vais faire de moi. :mur:

Pour la suite, ça se complique vraiment dans la partie B ; je n'arrive pas à justifier l'existence de u et v, et encore moins à montrer que u^3 et v^3 sont racines de l'équation. J'ai remarqué que : -p^3/27=(uv)^3, mais je ne sais pas quoi en faire !
Et puis alors après, c'est encore pire... D'autant plus que la partie C relève de tout ce qu'il a été fait précédemment, puisqu'il s'agit d'un exemple, et comme je ne sais pas faire grand chose...

Help, je me noie !

[Deliantha]

Salut !

P.S:
Gare à ne pas poster en mauvaise rubrique : ce sujet concerne les complexes au lycée et au supérieur)
P.S.2:
Attention à une distraction passagère en mer et sans radeau (moi, j'aime Noah mais ici ne me noie pas)!

[Noxx]

Oups... Je ne sais pas pourquoi avoir été dans cette rubrique alors que je pensais être dans la bonne ! C'est rectifié, merci ! Par contre, je ne sais pas comment supprimer cette discution ici...